tes

 CONTOH 2:

1. Diketahui Kubus ABCD.EFGH. Dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P merupakan perpotongan diagonal EG dan FH. Tentukan jarak titik P ke titik C

JAWAB :

Cara 1:

Menghitung panjang PC bisa langsung menggunakan 

rumus

Atau 

Cara 2 :

Keluarkan untuk menghitung PC menggunakan phytagoras.

Jadi jarak P ke C adalah   

		Diketahui kubus ABCD.EFGH. Dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik : a. C ke D b. B ke G c. B ke H d. C ke E JAWAB :			Diketahui Balok ABCD.EFGH dengan panjang, lebar dan tinggi berturut turut 16 cm, 12 cm dan 15 cm. Tentukan jarak titik : A ke C A ke F B ke G B ke H A ke G JAWAB : a. AC = 20, b.  AF = ,  c. , d. AG = 25
		Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk cm panjang diagonal AC adalah ... cm cm 6 cm 8 cm 4 cm JAWAB :  D			Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan diagonal sisinya adalah 8 cm panjang rusuk  kubus tersebut adalah ... cm cm cm cm 4 cm JAWAB :  A

CONTOH 2: Diketahui Kubus ABCD.EFGH. Dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P merupakan perpotongan diagonal EG dan FH. Tentukan jarak titik P ke titik C JAWAB : Cara 1: Menghitung panjang PC bisa langsung menggunakan  rumus Atau  Cara 2 : Keluarkan untuk menghitung PC menggunakan phytagoras. Jadi jarak P ke C adalah    Diketahui limas segitiga T.ABC dengan alas siku-siku di A, TA dan AB saling tegak lurus,     AB = AC, jika BC =8√2   dan TA = 6. Jarak titik B ke T adalah .... JAWAB : Segitiga ABC merupakan segitika siku-siku sama kaki sehingga kita bisa cari nilai AB  Jadi panjang AB = 8 cm Tinjau segitiga TAB, Dari gambar bisa dilihat, untuk mencari jarak B ke T bisa menggunakan phytagoras : cm Jadi jarak B ke T adalah 10 cm

B. Melukis Titik Tembus, Titik Potong dan Irisan Bangun Dimensi Tiga
CONTOH 1: Gambarkan titik tembus garis AG dengan bidang BDHF pada kubus ABCD.EFGH  JAWAB : Tarik garis diagonal BH dan DF pada bidang BDFH sehingga memotong di titik M Hubungkan titik A ke G sehingga garis AG menembus  bidang BDHF di titik M, maka titik tembus  garis AG dengan bidang BDHF adalah titik M. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Lukislah titik-titik potong antara diagonal ruang AG dengan bidang BDE dan bidang CFH JAWAB :   Tariklah garis-garis yang membentuk bidang BDE dan CFH Hubungkan titik A ke C sehingga memotong garis BD di P Hubungkan titik E ke G sehingga memotong garis FG di Q Hubungkan titik Q ke C dan titik P ke Esehingga membagi dua  bidang BDE dan CFH Kemudain hubungkan titik A ke G sehingga memotong bidang BDE dan CFH di titik M dan M. Maka titik tembusnya adalah M dan N
1		Gambarkan titik tembus garis BH dengan bidang ACGE pada kubus ABCD.EFGH JAWAB :	2		Diketahui kubus ABCD.EFGH. Lukislah titik-titik potong antara diagonal ruang CE dengan bidang AHF dan bidang BDG JAWAB :
3		Diketahui limas persegi T.ABCD. Gambarlah titik tembus titik T ke bidang ABCD.  JAWAB :	4		Diketahui balok ABCD.EFGH. Lukislah titik tembus garis BH dengan bidang ACGE JAWAB :
CONTOH 2: Diberikan limas dengan titik-titik P, Q, dan R berturut-turut terletak pada TA, CD, dan BC.  Lukislah irisan limas dengan bidang PQR. JAWAB :  Langkah-langkah : 1. Hubungkan titik R dan Q (karena satu bidang dengan bidang ABCD) agar menjadi garis perpanjangan RQ 2.Tarik garis perpanjangan AB sehingga memotong garis RQ di K   3.Tarik garis perpanjangan AD sehingga memotong garis RQ  di L dan memotong garis BT di S (karena RQ dan AD       satu bidang) 4. Hubungkan titik S dan R agar menjadi satu bidang dan tarik titik N dan Q agar menjadi satu bidang 5. Dengan menghubungkan titik P, S, R, Q, N maka terbentuk segi lima PSRQN
5	Lukislah irisan limas dengan bidang JAWAB :
6	Lukislah irisan kubus dengan bidang JAWAB :
7	Diberikan kubus dengan panjang rusuk 4 cm. Jika titik P di tengah EH dan titik Q di tengah bidang ABFE dan titik R terletak pada rusuk BF, sehingga BR : RF = 1 : 4 , Lukislah irisan bidang yang melalui titik P, Q, dan R  dengan kubus tersebut . JAWAB :
	Diketahui prisma ABC.DEF dengan garis g memotong  AB di titik P dan CF di titik Q. Lukislah garis yang melalui D dan memotong BC da PQ. JAWAB :
CONTOH 3: Diberikan kubus dengan panjang rusuk 6 cm. Jika titik P  di tengah AE dan titik R di tengah CG, Lukislah irisan bidang yang melalui  titik P, H, dan R dengan kubus tersebut dan hitunglah luas irisan tersebut.   JAWAB : Langkah-langkahnya : 1. Tarik titik H ke P agar menjadi garis perpanjangan HP 2. Tarik titik H ke R agar menjadi garis perpanjangan HR 3. Tarik garis perpanjangan DA sehingga memotong garis perpanjangan HP di titik K 4. Tarik garis perpanjangan DC sehingga memotong garis perpanjangan HR di titik L 5. Hubungkan tiutik K ke L sehingga memotong di titik B 6. Tarik titik P ke B sehingga jika kita hubungkan  titik P, B, R, H menjadi irisan segi empat PBRH atau belahketupat PBRH. Diagonal ruang kubus Diagonal sisi  kubus
9		Lukislah bidang irisan kubus dengan rusuk 4cm yang melalui titik P, Q, dan R dimana masing-masing titik tersebut berada di tengah AB, CG dan HG dan tentukan luas irisan tersebut JAWAB : Luas irisan	10	Pada limas beraturan T.ABCD,  AT = , AB = 3a. Luas irisan bidang datar yang melalui titik A dan tegak lurus TC dengan limas adalah.
11		Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika M adalah titik tengah AB . Luas irisan bidang melalui FDM dengan kubus ABCD.EFGH adalah .... cm2. 8 4 JAWAB : B
JARAK TITIK KE TITIK, TITIK KE GARIS, TITIK KE BIDANG, GARIS  KE GARIS, GARIS KE BIDANG, BIDANG KE BIDANG
Jarak Titik ke Titik
Jarak antara titik dengan titik, misalnya jarak titik A dengan titik B adalah panjang ruas garis AB. Di bawah ini adalah contoh mencari jarak pada beberapa bangun ruang yang sudah disederhanakan. Kubus Rumus Cepat jarak titik ke titik pada kubus : Jarak A ke C = Jarak A ke G = Jarak A ke N = Jarak C ke M = Volume = Luas Permukaan = Dengan : a = rusuk kubus Balok panjang digonal sisi panjang diagonal sisi panjang diagonal sisi Volume = Luas permukaan = Dengan : p = panjang balok l  = lebar balok t  = tinggi balok Limas (Piramida) panjang diagonal panjang Tinggi limas          Dengan :  TP = aponema t   = tinggi limas  Prisma Tegak Panjang         Dengan : t = tinggi limas a, b, dan c = rusuk alas prisma Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh dibawah ini
CONTOH 1: Diketahui Kubus ABCD.EFGH. Dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik : A ke D B ke D A ke  G        JAWAB :          Diketahui Balok ABCD.EFGH dengan panjang, lebar dan tinggi berturut turut 12 cm, 9 cm dan 8 cm. Tentukan jarak titik : A ke C A ke G A ke H B ke H JAWAB : Jarak A ke C adalah garis AG, maka : Jarak A ke G adalah garis AC, maka : Jarak A ke H adalah garis AH, maka : Jarak B ke H adalah garis BH. Karena BH adalah diagonal ruang  maka BH = AG = 17 cm
		Diketahui kubus ABCD.EFGH. Dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik : a. C ke D b. B ke G c. B ke H d. C ke E JAWAB :			Diketahui Balok ABCD.EFGH dengan panjang, lebar dan tinggi berturut turut 16 cm, 12 cm dan 15 cm. Tentukan jarak titik : A ke C A ke F B ke G B ke H A ke G JAWAB : a. AC = 20, b.  AF = ,  c. , d. AG = 25
		Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk cm panjang diagonal AC adalah ... cm cm 6 cm 8 cm 4 cm JAWAB :  D			Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan diagonal sisinya adalah 8 cm panjang rusuk  kubus tersebut adalah ... cm cm cm cm 4 cm JAWAB :  A
		Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang AG  cm jarak titik B ke G  adalah ... cm cm cm cm cm JAWAB :  E			Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang AC  cm jarak titik B ke C  adalah ... cm cm cm cm cm JAWAB :  C
CONTOH 2: Diketahui Kubus ABCD.EFGH. Dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P merupakan perpotongan diagonal EG dan FH. Tentukan jarak titik P ke titik C JAWAB : Cara 1: Menghitung panjang PC bisa langsung menggunakan  rumus Atau  Cara 2 : Keluarkan untuk menghitung PC menggunakan phytagoras. Jadi jarak P ke C adalah    Diketahui limas segitiga T.ABC dengan alas siku-siku di A, TA dan AB saling tegak lurus,     AB = AC, jika BC =8√2   dan TA = 6. Jarak titik B ke T adalah .... JAWAB : Segitiga ABC merupakan segitika siku-siku sama kaki sehingga kita bisa cari nilai AB  Jadi panjang AB = 8 cm Tinjau segitiga TAB, Dari gambar bisa dilihat, untuk mencari jarak B ke T bisa menggunakan phytagoras : cm Jadi jarak B ke T adalah 10 cm
		Diketahui kubus ABCD.EFGH. Dengan P adalah perpotongan garis EG dengan HF, dan Q adalah titik tengah FG yang panjang rusuk kubusnya 4 cm. Tentukan jarak titik : a. Q ke B b. P ke D c. P ke Q d. Q ke A JAWAB : cm 2 cm cm 6 cm			Diketahui Kubus ABCD.EFGH. Dengan panjang rusuk 5 cm. Titik Q merupakan perpotongan diagonal AC dan BD. Tentukan jarak titik Q ke titik H JAWAB :
					Diketahui Kubus ABCD.EFGH. Dengan panjang rusuk 10 cm. Titik P merupakan pertengahan garis DC. Tentukan jarak titik P ke titik E JAWAB :
		Diketahui limas segitiga T.ABC, TA dan AB saling tegak lurus, AB = AC, jika BC =  dan TA = 3. Tentukan jarak titik C ke T. JAWAB :  5 cm			Diketahui limas segitiga T.ABC, TA dan AB saling tegak lurus, alas AB = AC dengan siku-siku di A, jika BC =  dan 4 = 9. Jarak titik T ke titik B adalah ... 5 JAWAB :  A
		Diketahui prisma segitiga beraturan ABC.DEF, jika rusuk alas 6 cm dan tinggi prisma 8 cm. Jarak titik C ke titik E 16 15 14 12 10 JAWAB :  E			Diketahui limas segitiga T.ABC, TA dan AB saling tegak lurus, AB = AC= 9 cm, jika dan TA = 12 cm. Tentukan jarak titik B ke C. 16 JAWAB :  D
		Diketahui prisma trapesium sama kaki ABCD.EFGH, AB = 14 cm, CD = 8 cm dan AC = 5 . jarak titik E ke G adalah....cm. JAWAB : B
CONTOH 3: Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD, dengan AB = BC = cm dan TA = 26 cm.  Jika P adalah perpotongan diagonal BD dan AC, tentukan jarak titik P ke titik T JAWAB : Keluarkan untuk mencari jarak T ke P dengan Phytagoras Jadi jarak titik P ke T adalah Diketahui limas segitiga T.ABC, TA dan AB saling tegak lurus, alas AB = AC dengan siku-siku di A, jika BC =  dan TA = 9. Jarak titik T ke pertengahan garis BC adalah .... JAWAB :   Tinjau segitiga ABC untuk mencari panjang AB dan AC Jadi AB = AC = 12 cm. Tinjau segitiga TAB untuk mencari TB Tinjau segitiga TBC untuk mencari jarak C ke pertengahan BT Pertengahan BC adalah M. Jarak T ke pertengahan BC adalah TM. Sehingga TM bisa dicari menggunakan segitiga TMB dengan phytagoras : Jadi jarak T ke pertengahan CB adalah
	Diketahui limas persegi T.ABCD dengan panjang AB = 12 cm dan panjang sisi tegak 16 cm. Jika M adalah titik potong antara garis AC dan BD, tentukan jarak titik T ke M. JAWAB :   Tinjau segitiga TAM dengan siku-siku di M Cari nilai AM = ½ AC, maka : Sehingga kita dapat mencari TM dengan phytagoras :				Diketahui limas segitiga T.ABC, TA dan AB saling tegak lurus, alas AB = AC dengan siku-siku di A, jika BC =  dan TA = 9. Jarak titik T ke pertengahan garis AB adalah .... JAWAB :
	Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang AB = BC = cm dan panjang sisi tegak 15 cm. Jika P adalah titik pertengahan BC. Tentukan jarak T ke P. JAWAB :				Diketahui limas persegi T.ABCD dengan panjang alas cm dan sisi tegak 15cm. Jika titik P merupakan pertengahan bidang alas ABCD. Tentukan jarak titik P ke titik T 12 14 15 16 JAWAB : D
CONTOH 4: Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk 4 cm. Jika P adalah perpotongan diagonal EG dengan FH, Q adalah perpotongan diagonal ED dengan AH. Tentukan jarak titik P ke Q. JAWAB : Lukislah gambar berdasarkan keterangan diatas Buatlah titik tengah EH di M Keluarkan segitiga siku-siku PMQ, PM = MQ, dan PM = QM = ½ AB = ½ x 4 = 2 cm Sehingga : Jadi jarak titik P ke Q adalah
	Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk 8 cm. Jika P adalah perpotongan diagonal EG dengan FH, tentukan jarak titik P ke C JAWAB :cm				balok ABCD.EFGH mempunyai panjang, lebar dan tinggi berturut-turut 12, 6, dan 8 . Jika M adalah perpotongan diagonal BG dengan CF, tentukan jarak titik M ke D JAWAB :13 cm
	Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk 6 cm. Jika M adalah perpotongan diagonal BG dengan FC, N adalah perpotongan diagonal AG  dengan BH. Jarak titik M ke N adalah ....cm 3 5 JAWAB : D				Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk 6 cm. Jika R adalah perpotongan diagonal AG  dengan BH. Jarak titik R ke E adalah ....cm 3 5 JAWAB : B
	Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk 12 cm. Jika P adalah perpotongan diagonal EG dengan FH, Q adalah perpotongan diagonal ED dengan AH. Tentukan jarak titik P ke Q. 3 5 JAWAB : C
CONTOH 5 : Kubus ABCD.EFGH  dengan panjang rusuk cm. Titik K terletak pada CG sehingga CK : KG = 1 : 2 , titik P terletak pada perpotongan garis AG dan EK. Hitunglah jarak KP. JAWAB : Karena CK : KG = 1 : 2, maka : Cari diagonal AC dengan Phytagoras : Atau Keluarkan bangun AEKG sehingga menjadi : Cari nilai EK menggunakan phytagoras : Gunakan sifat kesebangunan segitiga AEP dengan segitiga KGP. EA : KG = 62:42=3:2, maka sama juga untuk  EP : PK = 3 : 2 Sehingga,
	Kubus ABCD.EFGH  dengan panjang rusuk 8 cm. Titik K terletak pada CG sehingga CK : KG = 1 : 3 , titik P terletak pada perpotongan garis AG dan EK. Hitunglah jarak KP. JAWAB : 30/7				Kubus ABCD.EFGH  dengan panjang rusuk 12 cm. Titik P adalah perpotongan diagonal AG dengan diagonal BH, tentukan jarak titik P ke B JAWAB :
	Kubus ABCD.EFGH  dengan panjang rusuk 9 cm. Titik T adalah perpotongan diagonal AG dengan diagonal BH. Volume limas T.ABCD adalah ....cm3 162 126 81 JAWAB : A				Kubus ABCD.EFGH  dengan panjang rusuk 6 cm. Titik P adalah pertengahan garis EH dan titik Q adalah pertengahan titik BF. Jarak titik P ke Q adalah....cm JAWAB : C
	Suatu kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm. Titik P berada pada garis DH sehingga  DP : PH = 1 : 2. Jarak titik P ke titik F adalah ....cm. JAWAB : B

Jarak Titik ke Garis Jarak antara titik A dan garis g (dimana titik A berada di luar garis g) adalah panjang ruas garis AA’, dengan A’ adalah hasil proyeksi titik A pada garis g. Dengan kata lain untuk mencari jarak titik A ke garis g adalah dengan menarik garis tegak lurus ke garis g   sehingga memotong di titik A’.              Jika garis g terletak pada bidang α dan titik A berada diluar bidang α, maka untuk menentukan jarak antara titik A ke garis g dengan menarik lurus titik A sehingga tegak lurus di titik B, kemudian tarik titik B ke garis g sehingga memotong di titik C pada garis g. Dibawah ini adalah contoh beberapa rumus cepat jarak yang sering digunakan pada kubus dengan tujuan untuk mempermudah perhitungan. Jarak garis HF ke titik A adalah Jarak garis AG ke titik C adalah
CONTOH 1: Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik B ke garis EG. JAWAB : a  = 6 Cara 1 : Jarak titik B ke garis EG adalah : Cara 2 : Keluarkan   Jadi jarak garis EG ke titik B adalah 3√6 Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang AB = BC = cm dan panjang sisi tegak 10 cm. Jika M adalah titik perpotongan diagonal AC dengan BC. Tentukan jarak M ke garis AT JAWAB :  Tinjau segitiga TAM AM = ½ AC , dengan AC bisa didapat menggunakan phitagoras dari segitiga ABC: AM = ½ x 12 = 6 cm Dan panjang TM, Tinjau lagi segitiga TAM, tarik titik M ke garis At sehingga siku-siku di N Jarak antara M ke garis AT adalah MN. Dapat dicari  menggunakan perbandingan kesebangunansegitiga  TMN dengan segitiga TAM,   Jadi n jarak M ke garis AT adalah NM = 4,8 cm
	Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Tentukan jarak titik C ke garis AH. JAWAB :			Dari limas segitiga T.ABC diketahui bahwa segitiga ABC siku-siku di titik B. AB = 6 cm, BC = 8 cm, TB = 12 cm, dan garis TB bidang ABC.  Hitunglah jarak antara titik T dan titik tengah AC. JAWAB :
	Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik A ke garis CH. JAWAB :			Bidang empat beraturan T.ABC, dengan AB=12 cm DA=18 cm. Tentukan jarak D ke AB. JAWAB :
	Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik G ke garis BD. JAWAB :			Suatu kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Titik P terletak pada perpanjangan rusuk DC sehingga  DC : CP = 3 : 1. Jarak titik P terhadap garis AH adalah ....cm. JAWAB : B
	Suatu kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Titik P terletak pada perpanjangan rusuk DC sehingga  DC : CP = 3 : 1. Jarak titik H terhadap garis AP adalah ....cm. JAWAB : E
CONTOH 2: Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. jarak garis AG dengan titik C JAWAB :   Cara 1 : Jarak garis AG ke titik C adalah  Cara 2 : Keluarkan agar mudah  Jarak AG ke C adalah PC, maka bisa menggunakan kesamaan luas segitiga AGC
		Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm. jarak garis BH dengan titik D JAWAB : cm		Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 7 cm. jarak garis CE dengan titik H JAWAB : cm
		Diketahui kubus ABCD.EFGH  dengan panjang rusuknya 12 cm. Jika R berada pada garis BF dengan perbandingan   FR : RB = 1 : 2. Berapakah jarak titik G ke garis ER. JAWAB : cm		Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan diagonal sisinya cm. Jarak garis HB ke titik G adalah... cm JAWAB :  A
		Diketahui balok PQRS.TUVW dengan PQ = 6 cm, QR = 8 cm dan PT = 24 cm. Jarak titik V ke diagonal TR adalah ... cm. 13/12 120/13 120/12 156/10 156/5 JAWAB : B		Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika R adalah titik tengah CG, maka jarak titik C ke garis AR adalah... cm 3 JAWAB :  A
CONTOH 3: Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD, dengan AB = BC = cm dan TA = 10 cm. Cari jarak A ke TC. JAWAB : Tarik titik A ke garis TC sehingga menjadi siku-siku di M, maka jarak A ke TC adalah AM   Keluarkan segitiga TAC agar mudah menghitung AC dan AM, maka ATC merupakan segitiga sama kaki. Tarik titik T ke AC sehingga tegak lurus di N. Cari panjang AC : Atau pakai phytagoras Cari panjang AM dengan kesamaan luas segitiga Jadi jarak A ke TC adalah AM = 9,8
		Diketahui limas segitiga T.ABC, diketahui ABC siku-siku di B , AB =12 cm, BC = 16 cm, TB = 24 cm, garis TB bidang ABC. Jika P adalah titik tengah AC, tentukan jarak titik B ke garis PT   JAWAB :		Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD, dengan AB = BC = cm dan TA = 12 cm. Cari jarak D ke TB. JAWAB :
		Diketahui limas segiempat  beraturan T.ABCD dengan AB = BC = cm dan TA = 13 cm, jika M adalah titik potong garis AC dan DB, dan N adalah titik tengah garis TC. Jarak titik N ke garis TM adalah ...cm. 12 6 5 5/2 13/2 JAWAB : D		Diketahui limas segiempat  beraturan T.ABCD dengan AB = BC = cm dan TA = 26 cm, dan M adalah titik potong garis AC dan DB. Jarak titik M ke garis TC adalah ... cm. 13/12 120/13 120/12 156/10 156/5 JAWAB : B
		Diketahui limas segiempat  beraturan T.ABCD dengan AB = BC = 10 cm dan TA = 13 cm. Jarak titik A ke garis TB adalah ... cm. 13/12 120/13 120/12 156/10 156/5 JAWAB : B		Diketahui limas segiempat  beraturan T.ABCD dengan AB = BC = 10 cm dan TA = 13 cm. Jarak T ke garis AB adalah ... cm. 12 13 JAWAB : A

D. Jarak Titik ke Bidang Jarak antara titik A dan  bidang α adalah panjang ruas garis AA’ dengan titik A’ adalah proyeksi titik A pada bidang α. Di bawah ini adalah beberapa rumus cepat jarak titik ke bidang pada kubus yang sering digunakan : 1. a.  Jarak bidang AHF ke titik C adalah PC=23EC=23a√3     b.  Jarak bidang AHF ke titik E adalah EP=13EC=13a√3 Agar lebih memahami perhatikan contoh dibawah ini.
CONTOH 1: Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik C ke bidang AHF JAWAB : a= 8   Cara 1 : Cara 2 : Keluarkan , tarik M ke garis AC sehingga siku-siku di Q. Diagonal sisi   Cari panjang PC menggunakan kesamaan segitiga   Jadi jarak titik C ke AHF adalah
	Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik B ke bidang ACEG. JAWAB :					Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Tentukan jarak titik C ke bidang BDHF. JAWAB :
	Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik E ke bidang AHF JAWAB :					Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik D ke bidang EGB JAWAB :
	Jika kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm. Titik P, Q, dan R berturut-turut adalah titik tengah rusuk EH, BF, dan CG. Titik M adalah titik potong garis AC dan BD. Jarak titik M ke bidang PQR adalah .... cm JAWAB : C Berdasarkan gambar jarak M ke PQR adalah MN Tinjau segitiga MTU Segitiga TNS dengan TMU adalah sebangun sehingga : Dan MN bisa kita cari, Jadi jarak titik M ke PQR adalah					Jika kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm. Titik P, Q, dan R berturut-turut adalah titik tengah rusuk EH, BF, dan CG. Titik M adalah titik potong garis EG dan FH. Jarak titik M ke bidang PQR adalah .... cm JAWAB : A
	Jika kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm. Titik P, Q, dan R berturut-turut adalah titik tengah rusuk EH, BF, dan CG. Titik M adalah titik potong garis EG dan FH. Jarak titik M ke bidang PQR adalah .... cm JAWAB : A
CONTOH 2: Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD, dengan AB = BC = cm dan TA = 13 cm. Cari jarak titik T ke bidang ABCD JAWAB :   Tarik titik C ke garis AC sehingga siku-siku di P, keluarkan . Diagonal sisi Maka : Jadi jarak T ke bidang ABC adalah TP=12 cm
	Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD, dengan AB = BC = cm dan TA = 20 cm. Cari jarak titik T ke bidang ABCD JAWAB :				Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD, dengan AB = BC = cm dan TA = 20 cm. Jika P titik tengah ABCD, tentukan jarak P ke bidang BCT  JAWAB :
	Diberikan limas T.ABCD. Proyeksi T tepat jatuh pada pusat ABCD. AB = 30 cm cm, BC = 16 cm, dan TA = 34 cm. tentukan jarak A ke bidang TBC. JAWAB :				Diberikan limas T.ABCD. Proyeksi T tepat jatuh pada pusat ABCD. AB = 15 cm cm, BC = 8 cm, dan TA = 17 cm. tentukan jarak A ke titik berat TBC. JAWAB :
	Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD, dengan AB = BC = 10 cm dan TA = 13 cm. Jika titik P dan Q masing-masing pertengahan garis AD dan BC. Jarak titik P ke bidang TPQ adalah...cm. JAWAB : A				Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD, dengan AB = BC = 10 cm dan TA = 13 cm. Jika titik P dan Q masing-masing pertengahan garis AD dan BC. Jarak titik P ke bidang TPQ adalah...cm. 5 6 13 JAWAB : E
CONTOH 3 Diketatahui limas beraturan T.ABC dengan AB = AC = 8 cm, TA =10 cm. Jika TA tegak lurus dengan alas, dan  siku siku di A Tentukan jarak titik A ke bidang TBC  JAWAB : Tarik T ke pertengahan BC  di titik P agar titik A searah dengan garis TP, kemudian tarik titik A ke titik Q sehingga siku-siku dengan garis TP, maka jarak A ke TBC adalah garis AQ Keluarkan segitiga TAP siku siku di A agar mudah untuk dianalisa. Gunakan kesamaan luas segitiga untuk mencari AQ Jadi jarak A ke bidang TBC adalah
		Diketatahui limas beraturan T.ABC dengan AB = BC = 10 cm, TB =10 cm. Jika TB tegak lurus dengan alas, dan  siku siku alas di B Tentukan jarak titik B ke bidang TAC . JAWAB :

E. Jarak Garis ke Garis Jarak garis ke garis pada garis g dan h adalah jarak dari ruas garis yang tegak lurus antara garis g dan h. Pada gambar diatas garis g dan h sejajar, untuk mencari jarak antara garis g dan h ditarik garis dari ruas garis g ke ruas garis h dititik A dan B  (garis yang ditarik harus siku-siku agar mendapatkan jarak terdekat).  Kemudian gambar dibawah ini garis g dan h bersilangan maka jarak antara garis g dan h adalah ruas garis AB dimana menarik garis A keB harus tegak lurus terhadap garis g dan h.   Berikut adalah contoh cara cepat jarak garis ke garis yang sering digunakan pada kubus : Jarak HG ke AB adalah  Jarak diagonal sisi AC dengan diagonal ruang DF adalah : MN = Jarak sisi AD dengan diagonal ruang BH adalah : AP =
CONTOH 1 : Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak garis EH ke garis BC Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak garis AD ke garis BC  Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Tentukan jarak garis CH ke garis AF JAWAB :    Jelas terlihat digambar jarak garis EH dengan BC adalah EB, dimana EB adalah diagonal sisi yaitu :  Jelas terlihat digambar jarak garis AD dengan BC adalah AB, dimana AB adalah panjang sisi kubus sepanjang 6 cm                       Titik tengah AF dan CH adalah P dan Q, sehingga jarak antara AF dan CH adalah PQ. Jika dilihat dari gambar PQ sejajar dengan BC sehingga PQ = BC = 12 cm.
CONTOH 2 : Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak garis DF ke garis AC JAWAB : Cara Konsep : Tinjau gambar segitiga BDF, jarak antara garis AC dengan DF adalah MN. BD adalah diagonal sisi sehingga BD =, dan DF adalah diagonal ruang sehingga DF = Bisa dilihat pada gambar diatas M merupakan titik tengah BD sehingga DM =. Jika kita tinjau lagi segitiga DMN dan DBF adalah sebangun, sehingga kita bisa mencari MN dengan menggunakan perbandingan : Jadi MN = cm Cara Cepat : , dimana a  adalah rusuk kubus
	Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak : garis BG ke garis AH garis BH ke garis CG garis AH ke garis CF garis DF ke garis HC garis EG ke garis BD garis AG ke garis CH JAWAB :8 8 cm cm 8 cm cm 8 cm cm			Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 4 cm, BC = 3 cm dan CG = 12 cm. Tentukan jarak : garis AC ke garis HF garis AC ke garis BG garis BG ke garis DE JAWAB : 12 cm 4 cm
	Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak garis BH dengan garis AD adalah .... cm 3 JAWAB :  D Jarak terdekat harus membentuk siku-siku sehingga jika A ditarik ke garis BH maka akan siku-siku di P, maka jarak garis BH ke AD adalah AP.  Tinjau segi tiga ABH : AH adalah diagonal sisi dan BH adalah diagonal ruang yang dicari menggunakan phytagoras. Panjang AP dapat kita cari dengan menggunakan luas segitiga HAB Sehingga :   Jadi jarak BH ke AD adalah Cara Cepat : cm , dimana a  adalah rusuk kubus			Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak garis DF dengan BE adalah .... cm 3 JAWAB :  E Gambar dengan frontalnya adalah ABEF Gambar dengan frontalnya adalah BCFG, sehingga tampak seperti dibawah ini Tinjau gambar FAD, jarak antara garis DF dengan DE adalah MN. AF adalah diagonal sisi sehingga AF =, dan DF adalah diagonal ruang sehingga DF = Bisa dilihar pada gambar diatas M merupakan titik tengah AF sehingga MF =. Jika kita tinjau lagi segitiga FMN dan FAD adalah sebangun, sehingga kita bisa mencari MN dengan menggunakan perbandingan : Jadi MN = Cara Cepat : cm , dimana a  adalah rusuk kubus
	Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Jarak garis AC dengan DF adalah .... cm 6 JAWAB :  C			Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Jarak garis AG dengan BC adalah .... cm 6 JAWAB :  E
CONTOH 3: Diberikan limas segiempat beraturan T.ABCD  dengan AB =cm dan TA = 20 cm.  Hitunglah jarak antara garis BD ke TC JAWAB :   Jarak antara garis BD dan TC adalah MN, M adalah pertengahan dari M dan jarak M ke N harus siku-siku karena merupakan jarak terdekat. Keluarkan segitiga TMC untuk mencari MN Cari jarak MN dengan kesamaan luas segitiga TMC Jadi jarak BD ke TC adalah MN = 9,6
	Diberikan limas segiempat beraturan T.ABCD  dengan AB = cm dan TA = 13 cm. Hitunglah jarak antara garis AC ke TB. JAWAB : 60/13				Diberikan limas segitiga sama sisi beraturan T.ABC dengan cm dan TA = 10 cm. Hitunglah jarak antara garis AT ke BC JAWAB :
	Diberikan limas segiempat beraturan T.ABCD  dengan AB = 10 cm dan TA = 13 cm. Jika P adalah titik tengah BC. Hitunglah jarak antara garis TP  ke AD. JAWAB :

F. Jarak Bidang ke Bidang Jarak antara bidang α dan β yang sejajar adalah jarak sembarang titik A pada bidang α dan A’ pada bidang β, dimana A’ adalah proyeksi tiik A pada bidang β. Di bawah ini adalah salah satu cara cepat mencari bidang ke bidang pada kubus : Jarak Bidang AHF dengan BDG adalah Untuk lebih jelasnya lihat contoh dibawah ini :
CONTOH 1 : Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Tentukan jarak bidang EFGH dengan bidang ABCD. JAWAB : Jika dilihat pada gambar, jarak bidang EFGH dengan bidang ABCD adalah AE Sehingga jaraknya bidang EFGH dengan bidang ABCD adalah 10 cm Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Jika titik P, Q, R dan S berturut turut pada pertengahan GH, FG, CD dan BC. Tentukan jarak antara bidang BDHF dengan bidang PQRS. JAWAB :   Bidang BDHF dengan PQRS sejajar, sehingga garis HF dengan PQ juga sejajar. Maka dapat kita tinjau bidang EFGH sebagai perwakilan dari bidang BDHF dan PQRS  jika dilihat tampak atas.                      Tarik garis dari titik E ke G sehingga memotong FH di M dan memotong PQ di N. Bisa dilihat jarak antara bidang BDHF dan PQRS adalah MN,  EG adalah diagonal kubus, maka :
CONTOH 2: Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Tentukan jarak bidang HFC dengan bidang BDE. JAWAB :  Cara 1 Jarak HFC dengan bidang BDE adalah Cara 2 : Keluarkan jajar genjang EMCN agar lebih jelas Jarak antara bidang HFC dengan bidang BDE adalah MP.  Cari panjang MC dengan kesamaan luas jajargenjang EMCN. Jadi jarak bidang BDE dengan HFC adalah
			Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Tentukan jarak bidang BCGF dengan bidang ADEH. JAWAB :12 cm					Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan AB = 12 cm. Titik P, Q, R, dan S berturut-turut terletak pada pertengahan BC, CG, DH, dan AD. Tentukan jarak antara bidang ABGH dan PQRS JAWAB :
			Diketahui kubus ABCD.EFGH, dengan volume 512 liter. Titik P terletak pada pertengahan rusuk BF, titik Q terletak pada pertengahan rusuk DH. Carilah jarak bidang ACQ dan bidang EGP JAWAB :					Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Tentukan jarak bidang ACF dengan bidang DEG. JAWAB :
			Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 20 cm. Jika titik P, Q, R dan S berturut turut pada pertengahan BC, CG, DH dan AD. Tentukan jarak antara bidang ABGH dengan bidang PQRS. JAWAB :					Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm, titik P pada pertengahan AE, titik Q pada pertengahan CG, dan titik R pada pertengahan BF. jarak antara bidang PQBH dan bidang ERF  adalah .... JAWAB :   E
			Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm. Tentukan jarak bidang BDG dengan bidang AFH. JAWAB :   C					Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Tentukan jarak bidang EGB dengan bidang ACH. 4 3 JAWAB :   A
			Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jika P ,Q, R, dan S masing-masing adalah pertengahan  garis AB, BC, EH dan CH. Jarak bidang PQF dengan bidang RSD adalah .... cm 4 3 JAWAB : A
CONTOH 3 : Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang diagonal  ruangnya cm. Titik P terletak pada pertengahan rusuk BF,  titik Q terletak pada pertengahan rusuk DH, dan titik R terletak  pada pertengahan rusuk AE. a. Lukislah irisan bidang yang melalui titik-titik A, P, dan Q. b. Carilah jarak bidang APGQ dan bidang RFH                                                          JAWAB :     Lukislah irisan bidang yang melalui titik-titik A, P, dan Q. Karena diagonal ruang AG = cm, maka sisi kubus tersebut adalah : cm Langkah – langkah melukis irisan bidang                                     Cari titik-titik yang sebidang dengan A, p, dan Q Tarik perpanjangan A P karena titik  A dan P sebidang (karena EF sebidang dengan AP). Tarik perpanjangan EF sehingga berpotongan dengan perpanjangan AP di M Karena EF sebidang dengan titik G. Tarik perpanjangan GM Tarik perpanjangan QG karena titik Q dan G sbidang Karena G dan P sebidang tarik perpanjangan GP  Tarik garis AQ sehingga membentuk irisan APGQ Carilah jarak bidang APGQ dan bidang RFH Tarik titik R ke S, dimana S adalah pertengahan garis FH dan tarik garis AN dimana N juga pertengahan QP Jadi garis RS dan AN adalah perwakilan bidang RFH dan bidang APGQ. Kemudian simak bidang ARNS Dimana, AR = ½ AB = 5 cm RN = ½ AC = cm Sehingga jarak garis RN dengan AN adalah RM  Gunakan luas bangun jajar genjang untuk mencari RM Jadi jarak bidang APGQ ke bidang RGH adalah
				Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. P, Q, dan R dimana masing-masing titik tersebut berada di tengah AB, CG dan HG . Dan titik S, T, dan u terletak pada pertengahan  FB, EF, dan FG. Tentukan jarak antara irisan bidang yang melalu titik P, Q, dan R dengan bidang TSU. JAWAB :					Jarak bidang  irisan kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4cm yang melalui titik P, Q, dan R dimana masing-masing titik tersebut berada di tengah AB, CG dan HG dan tentukan luas irisan tersebut JAWAB :
CONTOH 4 : Suatu balok ABCD.EFGH mempunyai panjang, lebar dan tinggi 12 cm, 8 cm dan 6 cm. Jika titik P, Q R, S, T, U, V, W adalah pertengahan garis HG, FG, DC, BC, EH, EF. AD, dan AB, tentukan jarak antara bidang PQRS dengan bidang TUVW JAWAB : Perwakilan garis dari bidang TUVW adalah TU dan perwakilan garis dari bidang PQRS adalah PQ, dan jika bidang EFGH dikeluarkan dan tarik garis TP dan UQ sehingga menjadi belah ketupat TPUQ , lihat gambar di bawah ini. Kemudian tarik titik P ke garis TU sehingga siku-siku di Q. Garis PX merupakan jarak antara bidang PQRS dengan bidang TUVW. Cari TP dengan phytagoras : Gunakan kesamaan luas untuk mencari jarak PX. Luas Jajar Genjang PQTU = Luas Belah ketupat   Jadi jarak antara bidang PQRS dengan bidang TUVW adalah
			Suatu balok ABCD.EFGH mempunyai panjang, lebar dan tinggi 8 cm, 6 cm dan 4 cm. Jika titik P, Q, R, dan S adalah pertengahan garis EH, FG, AD, dan CD. Jarak  PQRS dengan bidang ACEG adalah .... cm 2,4 3 3,2 3,5 4 JAWAB : A Tinjau bangun EFGH , Garis PQ dan EG adalah perwakilan bidang PQRS dan ACEG sehingga jarak antara bidang PQRS dan ACEG adalah PM, dimana : PQ =  5 cm (diagonal segitiga PQH) EG = 10 cm (diagonal segitiga EFG)  PEGH adalah bangun trapesium yang luasnya adalah : Maka panjang PM bisa kita peroleh menggunakan luas trapesium PEGH: Jadi Jarak  PQRS dengan bidang ACEG adalah PM = 2,4 cm					Suatu balok ABCD.EFGH mempunyai alas persegi dengan panjang AB = 10 cm dan FB = 20 cm. Jika titik P, Q R, S, T, U, V, W adalah pertengahan garis HG, FG, DC, BC, EH, EF. AD, dan AB, tentukan jarak antara bidang PQRS dengan bidang TUVW. JAWAB : B 5
			Diberikan limas persegi T.ABCD dengan rusuk alas 6 cm dan sisi tegak 8 cm. Jika P, Q, R, dan S adalah pertengahan garis TA, TD, TB, dan TC. Jarak bidang ADPQ  dengan bidang BCRS adalah ....cm.          3 JAWAB : E
JARAK GARIS KE BIDANG Jarak antara garis g dan bidang α yang sejajar adalah jarak sembarang titik A pada garis g dan bidang α.
CONTOH 1: Diketahui kubus ABCD.EFGH dibawah ini dengan panjang  rusuk 4 cm.         Tentukan jarak : Garis AD ke bidang BCFG Garis AH  ke bidang BCGF Garis DH ke bidang ABEF Garis EF ke bidang DCGH Garis CG ke bidang DBHF JAWAB : Jarak garis AD ke bidang BCFG adalah AB karena AB garis yang tegak lurus dengan garis AD dan bidang BCGFG, dimana panjang AB = 4 cm Jadi jarak garis AD dengan bidang BCFG adalah 4 cm  Jarak garis AH  ke bidang BCGF adalah AB karena AB garis yang tegak lurus dengan garis AH dan bidang BCGFG Jadi jarak garis AH dengan bidang BCFG adalah BC = 4 cm Jarak garis DH ke bidang ABEF adalah AD, karena AD tegak lurus dengan gari DH dan bidang ABEF Jadi jarak garis DH ke bidang ABEF adalah AD = 4 cm Jarak garis EF ke bidang DCGH adalah FG karena FG tegak lurus garis EF dan bidang DCGH        Jadi jarak EF  ke bidang DCGH adalah FG = 4 cm Jarak garis CG ke bidang DBHF adalah garis CM karena CM tegak lurus dengan garis CG dan DBHF. CM = ½ AC Dimana AC adalah diagonal sisi, jadi  CM = cm
			Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Tentukan jarak : Garis CG ke bidang ABFE Garis EG ke bidang ABCD Garis DH ke bidang ACGE JAWAB : a. 6 cm, b. 6 cm, c. cm					Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 4 cm, BC = 3 cm, dan CG = 8 cm. Tentukan jarak : Garis CG ke bidang BDHF Garis AH ke bidang BCGF Garis FH ke bidang ABCD JAWAB : a. 2,5 cm, b. 4 cm, c. 8 cm
			Diberikan kubus MNOP.QRST dengan panjang diagonal ruangnya 10 cm. Jarak antara garis AC dengan bidang EFGH adalah....cm. 5 10 JAWAB :  E					Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 12 cm, AG = 17 cm, dan CG = 8 cm. Jarak antara bidang BDHF dengan garis AE adalah ....cm.  15 12 8 7,5 4,5 JAWAB :  D
PANJANG PROYEKSI  GARIS KE BIDANG
CONTOH 1 : Diketahui kubus ABCD.EFGH dibawah ini dengan panjang  rusuk 4 cm.  Tentukan proyeksi garis AH dengan bidang BDHF. Tentukan panjang proyeksi garis AH dengan bidang BDHF. Tentukan proyeksi garis AC ke bidang BDG dan hitung panjang proyeksinya JAWAB : Proyeksi garis AH dengan bidang BDHF adalah HM Proyeksi adalah bayangan garis AH yang jatuh pada bidang BDHF (bayangkan BDHF adalah sebagai dinding yang akan di proyeksikan dan AH sebagai proyektornya). sehingga hasil proyeksi garis AH dengan bidang DBFH adalah HM   Tinjau segitiga HDM DM = ½ BD = cm, maka HM dapat dicari dengan phytagoras. Jadi panjang proyeksi  garis AH ke bidangBDHF adalah Lihat gambar dibawah Proyeksi adalah bayangan garis AM yang jatuh pada bidang BDG (bayangkan BDG adalah sebagai dinding yang akan di proyeksikan dan AC sebagai proyektornya). sehingga hasil proyeksi garis AM dengan bidang BDG adalah MG. Keluarkan segitiga   DBM : MC = ½ CM = ½ . =
			Panjang proyeksi garis ED dengan bidang BDHF pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm adalah ....cm. JAWAB : B					Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Panjang proyeksi garis AC ke bidang AFH adalah ....cm. JAWAB : B
			Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Panjang proyeksi garis AH ke bidang BCGF adalah ....cm. JAWAB : D					Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Panjang proyeksi garis BH ke bidang DCGH adalah ....cm. JAWAB : C
			Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. Panjang proyeksi garis BG ke bidang ACEG adalah ....cm. 6 JAWAB : A					Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. Panjang proyeksi garis BG ke bidang AHF adalah ....cm. 6 JAWAB : D
F. Sudut Antara Garis dan Garis Jika garis g tidak tegak lurus pada garis h, maka sudut antara garis g dan garis h merupakan sudut lancip. N adalah titik potong garis g dengan garis h dimana θ adalah sudut yang dibentuk antara garis g dengan garis h. Agar lebih paham simak contoh dibawah ini.
CONTOH 1: Diketahui kubus ABCD.EFGH . Tentukan besar sudut yang dibentuk : a. Garis AB dengan BC b. Garis AC dengan AB c. Nilai cosinus yang dibentuk antara Garis     AC dengan AG d. Garis AC dengan CG JAWAB : a. AB dengan BC siku-siku maka sudut yang dibentuk adalah 90o b. Sudut antara AC dengan AB adalah 45o karena setengah sudut dari siku-siku garis AD dengan AB c.  Nilai cosinus antara garis AC dengan AG adalah :   d. Besar sudut antara AC dengan CG adalah 90o
CONTOH 2 : Diketahui kubus ABCD.EFGH , jika α adalah sudut terkecil yang dibentuk dibentuk garis CE dengan AG. Tentukan besar cos α JAWAB :   Sudut terkecil yang dibentuk garis CE dengan AG adalah sudut EPA, Mari kita tinjau segitiga EPA, AG dan CE adalah diagonal ruang dengan , sehingga . Untuk mencari kita mengunakan aturan cosinus sebagai berikut : Jadi besar
				Diketahui kubus ABCD.EFGH . Tentukan besar sudut yang dibentuk : a. Nilai cosinus yang dibentuk antara garis DF  dengan BF b. Nilai sinus yang dibentuk antara garis AE dengan CE c. Garis  EG dengan BC d. Garis HF dengan AC JAWAB : a. ,b. ,c. 45o,d. 90o				Diketahui kubus ABCD.EFGH . Tentukan besar sudut yang dibentuk : garis HC dengan AF garis AC dengan BD garis AH dengan HF JAWAB :a. 90o, b. 90o, c.60o
				Diketahui kubus ABCD.EFGH . Besar sudut antara garis AH dengan CH adalah ....derajat. 30 45 60 75 90 JAWAB : C				Diketahui kubus ABCD.EFGH . Besar sinus antara garis AH dengan BH adalah ....derajat.       JAWAB : E
				Diketahui kubus ABCD.EFGH . Besar sudut antara garis BD dengan BG adalah ....derajat. 30 45 60 75 90 JAWAB : C				Diketahui kubus ABCD.EFGH . Besar sudut antara garis FH dengan FB adalah ....derajat. 30 45 60 75 90 JAWAB : E
				Diketahui limas persegi T.ABCD				Diketahui kubus ABCD.EFGH , jika α adalah sudut terkecil yang dibentuk dibentuk garis CE dengan AG. Nilai     sin α adalah ....       JAWAB : D
CONTOH 3 : Diketahui kubus ABCD.EFGH . P adalah perpotongan diagonal EG dan FH, dan sudut yang dibentuk antara AP dan CP adalah α. Tentukan : Cos α Sin α Tan α JAWAB : Perhatikan gambar kubus dibawah   α adalah sudut yang dibentuk antara garis AP dan CP, untuk mempermudah keluarkan segitiga APC. AP adalah jarak titik tengah P ke titik sudut A  jadi AP = ,PC = AP = . Dan AC adalah diagonal sisi kubus, sehingga AC = Kemudian cari trigonometri menggunakan aturan cosinus , maka kita bisa cari sinα dan tanα, menggunakan perbandingan segitiga siku-siku .                                                                                                                                                                      Jadi   c. dan berdasarkan perbandingan trigonometri pada segitiga diatas Limas segi empat beraturan T.ABCD mempunyai rusuk alas AB = cm dan sisi tegaknya TA = 13 cm. Jika α adalah sudut antara DT dengan BT Tentukan nilai cos α.  JAWAB : Simak gambar limas T.ABCD diatas kemudain keluarkan segitiga TBD untuk mempermudah visualisasinya. DB adalah diagonal alas persegi yang dapat dicari menggunakan rumus :  Kemudian gunakan rumus aturan cosinus untuk mencari besar cos α. Jadi cosα=119169
		Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm . P adalah perpotongan diagonal EG dan FH, dan sudut yang dibentuk antara EP dan PA adalah α. Tentukan  besar sudut α. JAWAB : 30o					Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm . Jika α adalah sudut yang dibentuk antara garis AG dengan BG. Tentukan : Nilai sin α Nilai cos α Nilai tan α JAWAB : a. , b. , c.
		Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 2 cm . P adalah perpotongan diagonal AC dan BD, dan sudut yang dibentuk antara AC dan PG adalah α. Tentukan  nilai sin α. JAWAB :					Limas segi empat beraturan T.ABCD mempunyai rusuk alas AB = cm dan sisi tegaknya TA = 13 cm. Jika α adalah sudut antara BT dengan BC Tentukan nilai cos α.  JAWAB :
		Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk m cm . sudut yang dibentuk oleh garis BE dan BG adalah ....o 30 45 60 75 90 JAWAB : C					Limas segi empat beraturan T.ABCD mempunyai rusuk alas AB = 6 cm dan sisi tegaknya TA = 5 cm. Besar nilai sin α yang terbentuk antara garis DT dengan AB .  JAWAB : B
		Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm . sudut yang dibentuk oleh garis BH dengan FG adalah ....o 30 45 60 75 90 JAWAB : A					Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm . Jika M adalah titik tengah EH , α adalah sudut  yang dibentuk oleh garis AM dan CM. Nilai cos α adalah ....         JAWAB : E
		Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm . sudut yang dibentuk oleh garis FH dengan BG adalah ....o 30 45 60 75 90 JAWAB : C					Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 7 cm . M adalah perpotongan diagonal EC dengan FH, dan sudut yang dibentuk antara MG dan AG adalah α. Nilai cos α adalah .... JAWAB : C
		Limas segi empat beraturan T.ABCD ,dengan M adalah titik potong AC dengan BD, rusuk alas cm dan sisi tegaknya 13 cm. Besar nilai tan α yang terbentuk antara garis TA dengan  garis TM .  JAWAB : A					Dari limas segitiga T.ABC diketahui bahwa segitiga ABC siku-siku di titik B. AB = BC = 6 cm, TB = 12 cm,  garis TB bidang ABC, M adalah titik tengah AC, jika α adalah sudut yang dibentuk antara garis TM dan BM, maka nilai sin α adalah.... JAWAB :
CONTOH 4 : Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Tentukan besar sinus antara garis EC dengan AD. JAWAB : Karena AD dan BC sejajar sehingga AD di proyeksikan lurus ke BC, maka sudut antara EC dengan AD bisa diwakili oleh BC.  Keluarkan segitiga BCE dengan siku-siku di B BE adalah diagonal sisi maka CE adalah diagonal ruang maka  Sehingga besar sinus antara garis BC dengan CE adalah
		Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Tentukan besar sinus antara garis CE dengan FG. JAWAB :					Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Tentukan besar sudut antara garis AH dengan CD. JAWAB :
		Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan rusuk  12 cm. Tentukan besar sudut antara garis AH dengan CD. JAWAB : 90o					Jika P adalah titik tengah EF dan FH pada kubua ABCD.EFGH. Tentukan besar tangen yang dibentuk oleh garis AT dengan garis CG. JAWAB :
Sudut Antara Garis dan Bidang Definisi : Jika garis g tidak tegak lurus pada bidang α, maka sudut antara garis g dan bidang α adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis g dan proyeksi garis g pada bidang α. Dimana θ adalah sudut yang dibentuk antara garis g dan bidang α. Agar lebih jelas perhatikan contoh dibawah ini.
CONTOH 1 : Diketahui kubus ABCD.EFGH . jika α sudut yang dibentuk antara garis AH dengan bidang BDHF, tentukan besar sudut α JAWAB : Perhatikan kubus diatas. HM adalah garis hasil proyeksi AH ke bidang BDH, sehingga sudut yang dibentuk antara garis AH dengan bidang DBHM adalah sudut AHM (α). Simak segitiga AHM berikut : Sudah diketahui bahwa pada kubus ABCD.EFGH Jika AB = 6 cm, maka :   Jadi, besar sudut α :   Jadi besar sudut
	Diketahui kubus ABCD.EFGH . Tentukan besar sudut yang dibentuk antara garis CF dengan bidang BDHF JAWAB : 30o						Diketahui kubus ABCD.EFGH . jika α sudut yang dibentuk antara garis AE dengan bidang AHF, tentukan besar nilai sin α. JAWAB :
	Diketahui kubus ABCD.EFGH . jika α sudut yang dibentuk antara garis CG dengan bidang AHF. Nilai cos α = .... JAWAB : C						Diketahui kubus ABCD.EFGH . jika α sudut yang dibentuk antara garis HB dengan bidang BCGF. Nilai sin α + cos α = .... JAWAB : A
	Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a . jika α sudut yang dibentuk antara garis AH dengan bidang EFGH. Nilai sin α - cos α = .... 0 JAWAB : A						Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a . jika α sudut yang dibentuk antara garis DF dengan bidang AHF. Nilai cos α = .... JAWAB : E
CONTOH 2 : Diketahui limas persegi T.ABCD , AB = BC = cm, dan TA = 15 cm. Jika α sudut yang dibentuk antara garis TA dengan bidang TBD. Tentukan nilai sin α.cos α. JAWAB : Perhatikan limas T.ABCD. Garis TM adalah proyeksi garis TA ke bidang TBD, sehingga sudut antara garis TA dengan TBD adalah susut ATM (α). Untuk mempermudah visualisasi, keluarkan segitiga ATM. Dimana : Jadi dari segitiga ATM kita bisa menentukan sin α.cos α,
	Diketahui limas persegi T.ABCD , AB = BC = cm, dan TA = 8 cm. Jika α sudut yang dibentuk antara garis TA dengan bidang TBD. Tentukan besar sudut α. JAWAB : 60o						Diketahui limas T.ABC dengan alas merupakan segitiga sama sisi , AB = 8 cm, TAB sisi tegak yang kongruen dengan alas ABC dan tegak lurus di AB . Jika α sudut yang dibentuk antara garis TC dengan bidang TAB. Tentukan besar sudut α. JAWAB : 45o
	Diketahui limas persegi T.ABCD , AB = BC = cm, dan TA = 8 cm. Jika α sudut yang dibentuk antara garis TB dengan bidang TAC. Besar sudut α adalah ....o 30 45 60 75 90 JAWAB : C						Diketahui limas persegi T.ABCD , AB = BC = 10 cm, dan TA = 13 cm. M dan N adalah titik tengah AD dan BC. Jika α sudut yang dibentuk antara garis TM dengan bidang TBC. Nilai cos α adalah ....o 3/4 2/3 1/3 11/72 47/72 JAWAB : E
Sudut Antara Bidang dan Bidang Definisi : Sudut antara dua bidang (yang berpotongan) adalah sudut yang terbentuk oleh dua garis pada masing-masing bidang tadi di mana setiap garis itu tegak lurus pada garis potong kedua bidang tersebut si satu titik. Dimana θ adalah sudut yang dibentuk antara bidang α dengan bidang β. Garis MN adalah perwakilan dari bidang β agar proyeksi M yaitu M’ (ditarik ke titik N)  berpotongan di titik N . Agar lebih memahami konsepnya perhatikan contoh dibawah ini :
CONTOH 1 : Diketahui kubus ABCD.EFGH . jika α sudut yang dibentuk antara bidang AHF dan HCF,  maka tan α = JAWAB :   Perhatikan gambar kubus diatas. M adalah titik potong garis EG dengan HF sehingga perwakilan sudut antara bidang  AHF dengan HCF adalah garis AM dengan garis MC. Untuk mempermudah visualisasi, keluarkanlah segitiga AMC. AM adalah jarak titik tengah M ke titik sudut A  jadi AM = ,MC = AP = . Dan AC adalah diagonal sisi kubus, sehingga AC = Kemudian gunakan rumus aturan cosinus untuk mencari besar cos α. , maka dapat dicari menggunakan perbandingan segitiga
			Diketahui kubus ABCD.EFGH . jika α sudut yang dibentuk antara bidang ACF dan ACH, maka nilai : cos α sin α tan α JAWAB : a. , b. 1/3, c.					Diketahui kubus ABCD.EFGH . jika α sudut yang dibentuk antara bidang AHF dan HFG, maka tentukan nilai     cos α . JAWAB :
CONTOH 2 Diketahui kubus ABCD.EFGH . jika α sudut terkecil yang dibentuk antara bidang BDG dan ABCD, maka cos α = JAWAB :    perhatikan kubus ABCD.EFGH diatas. MG adalah pertengahan bidang BDG dan AC adalah diagonal ABCD sehingga MG berpotongan dengan AC di M. Jadi sudut antara bidang BDG dengan ABCD adalah sudut GMC.  Keluarkan segitiga GMC untuk mempermudah visualisainya.                                                        Jadi nilai
			Diketahui kubus ABCD.EFGH . berapa besar sudut yang dibentuk antara bidang ABGH dengan alas ABCD. JAWAB : 45o					Diketahui kubus ABCD.EFGH . jika α sudut terkecil yang dibentuk antara bidang AHF dengan bidang EFGH, maka tentukan nilai 2cos α. sin α. JAWAB :
			Diketahui kubus ABCD.EFGH . M adalah titik potong diagonal EG dengan HF, N adalah pertengahan garis AE. Jika α adalah sudut yang dibentuk antara bidang HFN dengan bidang HFE, maka tentukan nilai tan α  JAWAB :					Diketahui kubus ABCD.EFGH . Tentukan besar  tan α yang dibentuk antara bidang ACGE dengan  bidang EGB JAWAB :
			Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm, tentukan besar cosinus sudut antara bidang BDG dengan alas ABCD. JAWAB :
			Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 1 cm. Besar sudut yang dibentuk antara bidang BDHF dengan ADEH adalah ....o 30 45 60 75 90 JAWAB : B					Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 2 cm. Besar sudut yang dibentuk antara bidang ABGH dengan ADCD adalah ....o 30 45 60 75 90 JAWAB : B
			Diketahui kubus ABCD.EFGH . M adalah titik potong diagonal EG dengan HF, N adalah pertengahan garis AE. Jika α adalah sudut yang dibentuk antara bidang HFN dengan bidang HFE, maka tentukan nilai sin α  JAWAB : C					Balok ABCD.EFGH memiliki  panjang rusuk AB = 12 cm, BC = 4 cm, dan CG = 8 cm. Jika M adalah titik tengah rusuk AB dan M adalah titik tengah rusuk DC. Sudut antara bidang EMNH dengan GFMN adalah α. Besar cos α = .... 24/25 7/25 3/5 4/5 12/13 JAWAB : B
CONTOH 3 : Diketahui bidang empat T.ABC. Bidang-bidang TAB, TAC, dan ABC saling tegak lurus. Jika TA = 6 cm, AB = AC = , dan α adalah sudut antara bidang ABC dan bidang TBC, maka tentukan besar sin α  JAWAB : Perhatikan gambar limas diatas. TM adalah pertengahan bidang TBC dan AM adalah pertengahan bidang ABC, sehingga α adalah sudut antara garis TM dengan AM yang merupakan perwakilan dari kedua bidang ABC dan TBC. Dimana : cm cm CM = ½ CB = cm cm Kemudian keluarkan segitiga TAM untuk mempermudah perhitungan dan visualisasinya. Berdasarkan  segitiga TAM kita sudah mengetahui letak α, sehingga :
		Pada bidang empat T.ABC, rusuk AB tegak lurus pada rusuk AC dan TA, AB = AC = a, dan TB = 3a. Jika β adalah sudut antara bidang TBC dan bidang ABC, maka  tentukan . JAWAB :						Tiga rusuk yang bertemu di titik A dari bidang empat D.ABC adalah saling tegak lurus. AB = AC = cm dan AD = cm. Hitunglah besar sudut antara bidang BCD dan bidang ABC JAWAB : 30o
		Bangun bidang empat D.ABC dengan DA tegak lurus alas ABC. AB = AC = 5 cm dan AD = 4 cm, CB = 6 cm. Besar sudut antara bidang BCD dan bidang ABC adalah ....o 30 45 60 75 90 JAWAB : B						Diketahui sebuah limas segi-4 beraturan T.ABCD, dengan AB = BC = 4 cm, TA = TB = TC = TD = cm. Besar sudut yang dibentuk antara rusuk tegak limas dengan alas. 30 45 60 75 90 JAWAB : C
		CONTOH 4 : Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm, tentukan besar tangen sudut antara bidang AHF dengan alas ABCD. JAWAB : Tarik garis AP pada pertengahan bidang AHF dan tarik juga garis AC pada pertengahan bidang ABCD, sehingga sudut yang dibentuk antara bidang AHF dengan ABCD adalah  . Keluarkan segitiga PAQ Maka besar tangen PAQ adalah :