Persamaan Garis Singgung Dan Garis Normal

Persamaan garis singgung dan garis normal adalah, garis singgung merupakan garis yang menyinggung kurva di satu titik dan garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung di titik yang sama dengan garis singgung pada kurva. Untuk lebih jelasnya lihat gambar kurva garis singgung dan garis normal dibawah ini.

garis singgung dan garis normal

Perhatikan kurva diatas, garis g menyinggung kurvaf(x)=ax²+bx+c di titik A(x,y) dan garis normal n adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung g .
Jika gradien garis g adalah m_g = m , maka gradien garis normal yang tegak lurus dengan garis g adalah

Maka persamaan garis singgung kurva menggunakan persamaan y-y₁=m_g (x-x₁) dan persamaan garis normalnya adalah y-y₁=m_n (x-x₁)

CONTOH 1:
Carilah persamaan garis singgung dan garis normal kurva f(x)=x²+4x+5 melalui titik x=1
JAWAB :
Cari gradien m garis singgung kurva, sebagai berikut :
f(x)=x²+4x+5
m = f’(x) = 2x + 4
m = 2.1 + 4 = 6

Maka gradien garis normalnya adalah :

Dan titik y  adalah

Persamaan garis singgungnya dengan m=6, x=1, y=10  :

Persamaan garis normalnya dengan gradient m_n = - 1/6 , x=1, y=10 adalah :

Jadi persamaan garis sinngungnya 6x - y = 4 dan garis normalnya x + 6y = 61

Lihat video untuk contoh 1 no.1

Persamaan garis singgung dan garis normal contoh 1 no.1

2. Persamaan garis singgung kurva y = x³ – 4x +1 mempunyai gradient – 1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normalnya.

JAWAB :
Diketahu gradient garis singgung m=-1 , maka gradient garis normalnya mn =1
substitusi gradient garis singgung tersebut dari turunan y = x³ – 4x +1 untuk mendapatkan nilai x.
y = x³ – 4x +1
m = 3x² – 4
-1= 3x2 – 4
3=3x² ↔x²=1↔x=±1
Karena nilai x sudah diketahui, maka y bisa dicari dengan substitusi nilai x ke y = x³ – 4x +1.
Untuk x = 1, y = 13 – 4. 1 + 1 = - 2 , sehingga titik singgungnya (1, - 2)
Untuk x = - 1, y = (-1)3 – 4. (-1) + 1 = 4 , sehingga titik singgungnya (-1, 4)
Jadi garis singgungnya ada 2 garis karena ada 2 titik singgung :
Untuk titik (1, -2), m = -1
y – y₁ = m(x – x₁)
y+2=-1(x-1)
y=-x+1-2
x+y=-1
Untuk titik (-1, 4), m = -1
y – y₁ = m(x – x₁)
y-4=-1(x+1)
y=-x-1+4
x+y=3
Jadi garis singgungnya adalah x+y=-1 dan x+y=3

Dengan cara yang sama kita bisa mencari garis normalnya dengan gradien garis normalnm_n =1 dan gunakan titik singgung (1, -2) dan (-1, 4), karena titik garis singgung sama dengan titik garis normal.
Untuk titik (1, -2), m = 1
y – y1 = m(x – x1)
y+2=1(x-1)
y=x-1-2
y-x=-3
Untuk titik (-1, 4), m = -1
y – y1 = m(x – x1)
y-4=1(x+1)
y=x+1+4
y-x=5
Jadi persamaan garis normalnya adalah y-x=-3 dan y-x=5

3. Persamaan garis singgungnormal kurva y=√(x+1) mempunyai gradient 1/4. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normalnya.

JAWAB :
Diketahu gradient garis singgung m=1/4 , maka gradient garis normalnya mn =-4
substitusi gradient garis singgung tersebut dari turunan y=√(x+1) untuk mendapatkan nilai x.
y=√(x+1)=(x+1)^1/2
y’=1/2(x+1)^-1/2
m = 1/2(x+1)^-1/2
1/4=1/2(x + 1)^-1/2

Karena nilai x sudah diketahui, maka y bisa dicari dengan substitusi nilai x ke y=√(x+1).
Untuk x = 3, y=√(3+1)=2 , sehingga titik singgungnya (3, 2)

Untuk titik (3, 2), m = 1/4
y – y₁ = m(x – x₁)
y-2=1/4 (x-3).
4y-8=x-3
-x+4y=5
Jadi garis singgungnya adalah -x+4y=5

Dengan cara yang sama kita bisa mencari garis normalnya dengan gradien garis normal
mn =-4 dan gunakan titik singgung (3, 2) ,karena titik garis singgung sama dengan titik garis normal.
Untuk titik (3, 2), mn = -4
y – y₁ = m(x – x₁)
y-2=-4(x-3)
y=-4x+12+2
4x+y=14

Jadi persamaan garis normalnya adalah 4x+y=14

CONTOH 2 :

1. Tentukan persaman garis singgung kurva y = x²+3x   yang sejajar garis y = 7x + 4





2. Tentukan persaman garis singgung kurva y = x³+2x+1  yang tegak lurus garis 5y+x – 2 = 0.

JAWAB :

1. Tentukan gradientnya dahulu dari persamaan y = 7x + 4 y = 7x + 4↔ m = 7, kemudaian cari titik singgungnya.

Cari titik y, dengan substitusi x = 2.

Jadi titik singgungnya (2, 10)

Maka garis singgungnya

Jadi garis singgungnya adalah y = 7x – 4

2. Tentukan gradiennya dahulu dari persamaan 5y+x – 2 = 0

5y+x – 2 = 0↔ m = -1/5, dan gradient yang tegak lurus garis tersebut adalah :
m_n = -1/m=-1/(-1/5)=5
kemudian cari titik singgungnya.

Cari titik y, dengan substitusi x = 1 dan x = -1.
Untuk x = 1

Jadi titik singgungnya (1, 4)
Dan persamaan garis singgungnya :

Untuk x = -1

Jadi titik singgungnya (- 1, - 2)

Dan persamaan garis singgungnya :

Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = 5x – 1
dan y = 5x – 3

Fungsi Naik Dan Fungsi Turun

 

Definisi Fungsi Naik dan Fungsi Turun bisa kamu lihat pada pernyataan definisi dibawah ini :

Misalkan fungsi f didefinisikan pada interval I.
1. Fungsi f dikatakan naik pada I jika hanya jika untuk setiap dua titik sembarang x₁,x₂ ∈I dengan x₁<x₂ mengakibatkan f(x₁ )<f(x₂ ) .

2. Fungsi f dikatakan turun pada I jika hanya jika untuk setiap dua titik sembarang x₁,x₂ ∈I dengan x₁<x₂ mengakibatkan f(x₁ )>f(x₂ ) .

3. Fungsi f dikatakan tak turun pada I jika hanya jika untuk setiap dua titik sembarang x₁,x₂ ∈I dengan x₁<x₂ mengakibatkan f(x₁ )≤f(x₂ ).

4. Fungsi f dikatakan tak naik pada I jika hanya jika untuk setiap dua titik sembarang x₁,x₂ ∈I dengan x₁<x₂ mengakibatkan f(x₁ )≥f(x₂ ).

CONTOH 1:
1. Buktikan bahwa :
a. Fungsi y=f(x)=3x+1 adalah naik untuk x∈R
b. Fungsi y=f(x)=3-x adalah turun untuk x∈R
JAWAB :

a. Fungsi f dikatakan naik pada I jika hanya jika untuk setiap dua titik sembarang x₁,x₂ ∈ I dengan x₁<x₂ mengakibatkan f(x₁ )<f(x₂ )
Karena x₁<x₂ maka x₁-x₂<0 , jadi :

Oleh karena itu f(x₁ )<f(x₂ ) atau y=f(x)=3x+1 adalah fungsi naik untuk x∈R (terbukti)

b. Fungsi f dikatakan naik pada I jika hanya jika untuk setiap dua titik sembarang x₁,x₂ ∈ I dengan x₁<x₂ mengakibatkan f(x₁ )>f(x₂ )

Oleh karena itu f(x₁ )>f(x₂ ) atau y=f(x)=3-x adalah fungsi turun untuk x∈R (terbukti)

Lihat Video untuk contoh 1 no. 1

Buktikan fungsi naik atau turun contoh 1 no 1

2. Carilah interval-interval x agar fungsi f(x)=2x² + 4x + 5 merupakan fungsi

a. Naik
b. Turun
JAWAB :
a. Syarat fungsi f(x) naik adalah f(x)’ > 0 , maka :

b. Syarat fungsi f(x) turun adalah f(x)’ < 0 , maka :

Lihat video untuk contoh 1 no.2

Mencari interval fungsi naik turun contoh 1 no 2

3. Carilah interval-interval x agar fungsi f(x)  – 2x³ – 15x² – 36x + 7    merupakan fungsi

a. Naik

b. Turun

 JAWAB :

a. Syarat fungsi f(x) =  – 2x³ – 15x² – 36x + 7      naik adalah  , maka f(x)'>0 :

   Maka intervalnya adalah

Maka interval agar fungsi f(x)  – 2x³ – 15x² – 36x + 7  naik adalah – 3 < x < – 2

b. Syarat fungsi f(x) = – 2x³ – 15x² – 36x + 7 turun adalah f(x)'<0 , maka :

Maka intervalnya adalah

Maka interval agar fungsi f(x)  – 2x³ – 15x² – 36x + 7  turun adalah x < – 3 atau  x > – 2

Lihat Video untuk contoh 1 no. 3

Interval Fungsi turun atau naik dengan turunan contoh 1 no.3

CONTOH 2:
1. Tunjukkanlah bahwa fungsi f(x) = 9x³ – 18x² + 12x – 2 tidak pernah turun untuk setiap x∈R .
JAWAB:

Maka fungsi f(x) = 9x³ – 18x² + 12x – 2 tidak pernah turun untuk setiap x∈R.

2. Tunjukkanlah bahwa fungsi f(x)=-1/3 x³-2x²-4x+6 tidak pernah naik untuk setiap x∈R.

JAWAB:

Maka fungsi f(x)=-1/3 x³-2x²-4x+6 tidak pernah naik untuk setiap x∈R

Lihat Video untuk contoh 2

Titik Stasioner dan Titik Ekstrim

titik stasioner atau titik kritis suatu fungsi yang dapat diturunkan adalah suatu titik di dalam grafik dengan turunankurva pertama yang sama dengan nol. Bisa juga titik stasioner merupakan titik di mana fungsi "berhenti" naik atau turun.

Titik Ekstrim adalah titik yang Nilai-nilai ekstrim didapat dengan menghitung untuk setiap titik kritis. Yang terbesar adalah nilai maksimum, yang terkecil adalah nilai minimum.

Titik Stasioner dan Titik Ekstrim

CONTOH 1:
1. Carilah titik stasioner, nilai stasioner, koordinat titik stasioner dari fungsi f(x)=3x²+9x+12
JAWAB :

2. Carilah titik stasioner, nilai stasioner, koordinat titik stasioner dari fungsi : f(x)=2x^3+15x^2+36x-18

JAWAB :

*Untuk x=-3 , maka nilai stasionernyanya adalah f(-3)=2(-3)³+15(-3)²+36(-3)-18=-45 Dan koordinat titik stasionernya adalah (-3,-45)
*Untuk x=-2 , maka nilai stasionernyanya adalah f(-2)=2(-2)³+15(-2)²+36(-2)-18=-46
Dan koordinat titik stasionernya adalah (-2,-46)
Jadi titik-titik stasionernya adalah (-3,-45) dan(-2,-46)

Nilai Balik Maksimum Dan Nilai Balik Minimum

 

Berikut ini adalah contoh soal dan pembahasan untuk mencari nilai balik maksimum dan nilai balik minimum

CONTOH 1:
Dengan menggunakan uji turunan pertama tentukanlah nilai balik maksimum atau nilai balik minimum dari setiap fungsi berikut ini :
a. f(x)=10+8x-2x²
b. f(x)=x²+7x+10
c. f(x)=1/3 x³-3/2 x²-18x+3
JAWAB :
a. f(x)=10+8x-2x²
Turunan pertama dari fungsi f(x)=10+8x-2x² adalah f' (x)=-4x+8 .
Tiitik stasioner fungsi f dicapai bila f' (x)=0 , maka

Nilai stasionernya f(2)=10+8(2)-2(2)²=18
Karena haya ada satu nilai x dan nilai stasionernya positif 18 maka dapat disimpulkan pada x=2 fungsi f(x) mencapai nilai balik maksimum dan nilai balik maksimum itu adalah f(2)=18

b. f(x)=x²+7x+10

Turunan pertama dari fungsi f(x)=x²+7x+10 adalah f' (x)=2x+7 .
Tiitik stasioner fungsi f dicapai bila f'(x)=0 , maka

Nilai stasioner untuk x=-7/2 adalah :

Karena haya ada satu nilai x dan nilai stasionernya negatif (-9/4) maka dapat disimpulkan pada x=-7/2 fungsi f(x) mencapai nilai balik minimum dan nilai balik minimum itu adalah f(-7/2)=-9/4

c. f(x)=1/3 x^3-3/2 x^2-18x+3

Turunan pertama dari fungsi f(x)=1/3 x³-3/2 x²-18x+3 adalahf^' (x)=x²-3x-18 .
Tiitik stasioner fungsi f dicapai bila f' (x)=0 , maka :

Nilai-nilai stasionernya untuk x=6 atau x=-3 adalah :

Karena ada lebih dari satu nilai x maka nilai balik maksimumnya adalah yang bernilai positif f(-3)=69/2 dan nilai balik minimumnya adalah yang bernilai negatif f(6)=-87

Lihat Video untuk contoh 1

https://youtu.be/nEGOq2KdiLE

NILAI BALIK MAKSIMUM MINIMUM CONTOH 1

NILAI BALIK MAKSIMUM MINIMUM PADA INTERVAL

CONTOH 1:
Carilah nilai maksimum dan minimum fungsi f(x)=-x²+x+12 pada interval -2<x<0
JAWAB :
Turunan pertama dari f(x)=-x²+x+12 adalah f^' (x)=-2x+1 .
Titik stasioner fungsi f dicapai bila f' (x)=0 , maka
-2x+1= 0
x=1/2

Nilai stasionernya adalah f(1/2)=-(1/2 )²+(1/2)+12=49/4
Dengan uji turunan pertama dapat diketahui bahwa f(1/2)=49/4 merupakan titik balik maksimum fungsi f
Pada selang -2<x<0 tidak ada nilai balik maksimum, sebab nilai balik maksimum terjadi pada x=1/2
Mencari fungsi f(x)=-x²+x+12 pada ujung-ujung selang -2<x<0
x=-2→f(-2)=-(-2)²+(-2)+12=6
x=0→f(0)=-(0)²+(0)+12=12
Ditulis 6≤f(x)≤12
Dapat disimpulkan nilai fungsi f terbesar adalah 12 dan terkecil adalah 6, jadi fungsi f(x)=-x²+x+12 pada selang-2<x<0 mencapai nilai maksimum 12 dan minimum 6, ditulis 6≤f(x)≤12

2. Carilah nilai maksimum dan minimum fungsi f(x)=-x²+x+12 pada selang [-1,1]
   JAWAB :
   Turunan pertama dari f(x)=-x²+x+12 adalah f' (x)=-2x+1 .
   Titik stasioner fungsi f dicapai bila f' (x)=0 , maka
   -2x+1= 0
   x=1/2

Strategi Turunan Kedua Menentukan Jenis Ekstrim

 

CONTOH 1:
1. Dengan menggunakan uji turunan kedua, tentukanlah nilai balik maksimum atau nilai balik minimum dari fungsi f(x)=-x²-2x+3
JAWAB:
Turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x)=-x²-2x+3 adalah f' (x)=-2x-2 dan f"(x)=-2
Titik stasioner fungsi f tercapai bila f' (x)=0 , maka

Nilai stasionernya f(-1)=-(-1)²-2(-1)+3=4
Untuk x=-1 diperoleh f"(-1)=-2<0 , maka menurut uji turunan kedua, fungsi f mempunyai nilai balik maksimum di x=-1.
Jadi, fungsi f(x)=-x²-2x+3 mempunyai nilai stasioner f(-1)=4 dan jenisnya merupakan nilai balik maksimum.

2. Dengan menggunakan uji turunan kedua, tentukanlah nilai balik maksimum atau nilai balik minimum dari fungsi f(x)=4x²+6x-4

JAWAB:
Turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x)=4x²+6x-4 adalah f' (x)=8x+6 dan f"(x)=8
Titik stasioner fungsi f tercapai bila f' (x)=0, maka

Untuk x=-3/4 diperoleh f"(-3/4)=8>0 , maka menurut uji turunan kedua, fungsi f mempunyai nilai balik minimum di x=-3/4.
Jadi, fungsi f(x)= f(x)=4x²+6x-4 mempunyai nilai stasioner f(-3/4)=-25/4 dan jenisnya merupakan nilai balik minimum.

3. Dengan menggunakan uji turunan kedua, tentukanlah nilai balik maksimum atau nilai balik minimum dari fungsi f(x)=x³+10x²+12x-6

JAWAB:
Turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x)=x³+10x²+12x-6 adalah f' (x)=3x²+20x+12 dan f"(x)=6x+20
Titik stasioner fungsi f tercapai bila f' (x)=0 , maka

Kecekungan Fungsi Kontinu Dan Titik Belok Fungsi Kontinu

Teorema Uji Turunan Kedua untuk Menentukan Kecekungan Fungsi Kontinu :
Misalkan fungsi kontinu dan terdiferensial dua kali pada selang terbuka I.
1. Jika f"(x)>0 untuk semua x pada selang I, maka kurva fungsi f(x)cekung ke atas pada I.
2. Jika f"(x)<0untuk semua x pada selang I, maka kurva fungsi f(x)cekung ke bawah pada I

Teorema Syarat Perlu Bagi Titik Belok
Jika fungsi f terdiferensial dua kali pada x = c atau f”(c) ada dan (c,f(c)) adalah titik belok kurva fungsi y = f(x), maka f"(c)=0

CONTOH 1:
1. Carilah pada interval mana fungsi f(x)=x³+12x²+10x-15 cekung keatas dan pada interval mana cekung kebawah.
JAWAB :
Turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x)=x³+12x²+10x-15 adalah f'(x) =3x²+24x+10 dan f"(x)=6x+24

Dengan menggunakan strategi uji turunan kedua, dapat ditentukan :

2. Carilah pada interval mana fungsi f(x)=x⁴+2x³-36x²-20 cekung keatas dan pada interval mana cekung kebawah.

JAWAB :
Turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x)=x⁴+2x³-36x²-20 adalah f'(x)=4x³+6x²-72x dan f"(x)=12x²+12x-72
Dengan menggunakan strategi uji turunan kedua, dapat ditentukan :

Menggambar Grafik Fungsi Aljabar

Menggambar grafik fungsi aljabar sangat penting dipelajari, untuk apa? untuk membantu menyelesaikan materi matematika lainnya seperti materi Integral, yaitu mencari luas yang dibatasi oleh kurva dan volume benda putar. Jika kita tidak bisa menggambar grafik kurva aljabar maka menyelesaikan soal luas dan volume benda putar yang dibatasi kurva akan mendapat kendala bahkan akan salah menentukan batas untuk integral tentu yang akan kita gunakan sebagai perhitungannya.

Dalam membuat grafik/sketsa kurva suatu fungsi aljabar menggunakan turunan pertama dan turunan ke dua untuk mentukan stasioner, titik balik maksimum atau titik balik minimum, dan titik belok yang sebelumnya sudah kita pelajari di materi titik stasioner , titik ekstrim, kecekungan dan titik belok

Untuk lebih jelasnya lihat contoh soal melukis grafik fungsi aljabar dibawah ini.

CONTOH 1:
1. Gambarlah sketsa kurva y=f(x)=4x³-8x²-3x+9 .
JAWAB :
Langkah-langkahnya adalah :
a. Menentukan titik potong di sumbu Y
Jika kurva f memotong sumbu y maka x = 0
y=4.0³-8(0)²-3(0)+9=9 ,jadi titik potongnya di sumbu y adalah (0, 9)
b. Menentukan titik potong di sumbu X
Jika kurva f memotong sumbu x maka y = 0

Jadi koordinat titik potong kurva f dengan sumbu x adalah (-1,0) dan (3/2)

c. Cari titik ekstrim menggunakan turunan pertama dari kurva y=f(x)=4x³-8x²-3x+9
Turunan pertamanya adalah f' (x)=12x²-16x-3 , dan titik stasioner dapat dicapai bila f' (x)= 0 , maka

Titik ekstrimnya untuk x=3/2 adalah :

Titik ekstrimnya untuk   adalah :

Maka titik balik minimumnya adalah  

dan titik balik maksimumnya

d. Gambarlah semua titik yang telah dicari seperti  , 

sehingga setelah dihubungkan titik-titiknya  menjadi kurva y=f(x)=4x^3-8x^2-3x+9 dibawah  ini

Lihat video untuk contoh 1Menggambar Skema Grafik Menggunakan Turunan Contoh 1