Aturan Sinus

Pada setiap ∆ABC berlaku :

dengan : a = BC, b = AC, c = AB dan R adalah jari-jari lingkaran. Luas ∆ABC, dengan O adalah pusat lingkarannya.

Lihat gambar dibawah

segitiga dalam lingkaran

CONTOH 1:

Diketahui segitiga ABC dibawah ini

Tentukan unsur-unsur yang belum diketahui mengunakan aturan sinus,

JAWAB :

Cari sudut C

cari panjang b menggunakan aturan sinus

kemudian cari panjang c dengan aturan sinus juga

Lihat Video untruk contoh 1

Aturan Sinus Contoh 1

Luas Bangun Datar Dengan Trigonometri

Jika ∆ABC adalah segitiga sembarang, maka Rumus Luas ∆ABC adalah :

segitiga ABC sembarang

Rumus Luas Segitiga Sembarang
L=1/2 b.c.sinA
L=1/2 a.c.sinB
L=1/2 a.b.sinC
Dengan L = luas ∆ABC

CONTOH 1 :

Diberikan ∆ABC, dengan ∠A= 30^o, b = 8 cm cm, dan c = 12 cm . Hitunglah luas ∆ABC tersebut !
JAWAB :

Lihat video untuk contoh 1 :

Luas segitiga sembarang dengan trigonometri contoh 1

CONTOH 2:
Diberikan ∆ABC, ∠A=60o , ∠C=45^o dan c = 14 cm. Hitunglah luas ∆ABC tersebut.
Sin 75^o=1/4(√6+√2).

JAWAB :

Cari nilai b dan ∠B untuk mencari Luas ∆ABC
Dengan perbandingan sinus.
∠B=180^o – 45^o – 60^o = 75^o

Jadi Luas ∆ABC

Lihat Video Untuk Contoh 2

Luas segitiga Sembarang dengan trigonometri contoh 2

CONTOH 3:
Diberikan jajargenjang ABCD dengan ∠A=30^o, AD = 12 cm, AB = 16 cm. Tentukan luas jajargenjang ABCD.
JAWAB :

LABCD = AB.AD.sinA
LABCD = 16.12.sin30^o = 16.12.1/2
LABCD = 96 cm²
Jadi luas jajar genjang ABCD adalah 96 cm²

Lihat Video Untuk Contoh 3

Luas Jajar Genjang dengan trigonometri contoh 3

Operasi Hitung Nilai Trigonometri

Setelah kita mempelajari Nilai sudut istimewa trigonometri selanjutnya kita masuk ke operasi perhitungan nilai trigonometri. Operasi yang akan kita selesaikan dalam bentuk penjumlahan, pembagian dan bentuk opeasi perkalian. Tidak ada yang berbeda dari konsep sebelumnya, masih menggunakan konsep kuadran.

Saya sarankan jangan masuk materi operasi hitung nilai trigonometri jika belum mempelajari Nilai sudut istimewa karena dengan mempelajari konsep kuadran maka konsep kamu akan lebih kuat untuk menyelesaikan operasi hitung sudut trigonometri. Mari kita lihat contoh dibawh ini.

CONTOH 1:
Nilai dari sin 150^o – cos 120^o + 2tan 45^o =

JAWAB :
150^o – cos 120^o + 2tan 45^o = sin 30^o – (–cos 60^o) + 2tan 45^o
= ½ + ½ + 2.1 = 3

Lihat video untuk contoh 1

Operasi Hitung Nilai Sudut Trigonometri Contoh 1

CONTOH 2 :

Hitunglah nilai sudut di bawah ini.

JAWAB :

Lihat video untuk contoh 2

Operasi Hitung Nilai Sudut Trigonometri Contoh 2

CONTOH 3 :

Hitunglah nilai sudut di bawah ini.

JAWAB :

Lihat video contoh 3

Operasi Hitung Nilai Sudut Trigonometri Contoh 3

Fungsi Trigonometri

CONTOH 1:

1. Gambarlah sketsa grafik fungsi trigonometri  dengan  

JAWAB :

Buatlah tabel, dengan x sudut istimewa

Kemudian hubungkan titik yang telah dibuat pada tabel sehingga membentuk grafik di bawah ini.

2. Gambarlah sketsa grafik fungsi trigonometri  dengan     

JAWAB :

Buatlah tabel, dengan x sudut istimewa

Kemudian hubungkan titik yang telah dibuat pada tabel sehingga membentuk grafik di bawah ini.

3.Gambarlah sketsa grafik fungsi trigonometri f(x)=tanx dengan 0≤x≤360
JAWAB :
Buatlah tabel, dengan x sudut istimewa

Kemudian hubungkan titik yang telah dibuat pada tabel sehingga membentuk grafik di bawah ini.

4. Gambarlah sketsa grafik fungsi trigonometri f(x)=sin⁡2 x dengan 0≤x≤360
   JAWAB :
   Buatlah tabel, dengan x sudut istimewa

Bisa dilihat dari kurva y=sin2x bisa didapat periode fungsi yaitu :

Maka periode fungsi :

, jadi bisa dikatakan satu gelombang penuh sinus dicapai saat 180^o.

Sehingga kurvanya seperti dibawah ini

5. Gambarlah sketsa grafik fungsi trigonometri f(x)=cos⁡2 x dengan 0≤x≤360
   JAWAB :

Bisa dilihat dari kurva y=cos2x bisa didapat periode fungsi yaitu :

Maka periode fungsi

, jadi bisa dikatakan satu gelombang penuh kosinus dicapai saat 180^o.

sehingga kurvanya seperti gambar dibawah ini.

6. Gambarlah sketsa grafik fungsi trigonometri f(x)=-4cos⁡3 x dengan 0≤x≤360
   Bisa dilihat f(x)=-4cos⁡3 x mempunyai amplitudo atau tinggi kurva A = 4 , dan periode kurva sinus adalah 3x=360↔x=120
   Tanda negatif menentukan bawa kurva dimulai dari bawah yaitu -4.

sehingga gambar kurvanya seperti dibawah ini

Lihat video cara cepatnya part 1

Cara Cepat Grafik fungsi trigonometri part 1

Menggambar Grafik Fungsi Trigonometri untuk translasi horizontal

1. Gambarlah sketsa grafik fungsi trigonometri dengan f(x) = sin(x + 30^o) dengan 0≤x≤ 360
   JAWAB :

Bisa dilihat f(x) = sin(x + 30^o) mempunyai amplitudo atau tinggi kurva A = 1 , dan periode kurva sinus adalah x = 360^o. Tanda + 30^o menandakan bawa kurva bergeser sejauh 30^o ke arah kiri (lihat kurva acuan y=sinx), sehingga satu gelombang penuh berakhir di 330^o

Berikut adalah gambar kurva f(x) = sin(x + 30^o)

 2. Gambarlah sketsa grafik fungsi trigonometri f(x) = sin(x – 45^o) dengan   0≤x≤360^o                             

JAWAB :

Bisa dilihat f(x) = sin(x – 45^o)  mempunyai amplitudo atau tinggi kurva A = 1, dan periode kurva sinus adalah x = 360^o . Tanda – 45^o menandakan bawa kurva bergeser sejauh 45^o ke arah kanan (lihat kurva acuan y=sinx), sehingga satu gelombang penuh berakhir di 405^o

Berikut adalah gambar kurva  f(x)=sin(x – 45^o)

3. Gambarlah sketsa grafik fungsi trigonometri f(x)=2cos(x + 60^o) dengan   0≤x≤360^o

JAWAB :

Bisa dilihat f(x)=2cos(x + 60^o)   mempunyai amplitudo atau tinggi kurva A = 2 , dan periode kurva sinus adalah x = 360^o . Tanda + 60^o menandakan bawa kurva bergeser sejauh 60^o ke arah kiri (lihat kurva acuan y=cosx), sehingga satu gelombang penuh berakhir di 300^o

Berikut adalah gambar kurfa fungsi trigonometri f(x)=2cos(x + 60^o)

Lihat video untuk cara cepat menggambar grafik fungsi trigonometri part 2

Cara Cepat Grafik fungsi trigonometri part 2

Menggambar Grafik Fungsi Trigonometri untuk translasi vertikal

1. Gambarlah sketsa grafik fungsi trigonometri f(x)=sin x+2 dengan 0≤x≤360^o  

JAWAB :

Bisa dilihat f(x)=sin x+2  mempunyai amplitudo atau tinggi kurva A =1  , dan periode kurva sinus adalah x = 360^o.  Tanda +2 menandakan bawa kurva bergeser sejauh 2 satuan ke arah Atas (lihat kurva acuan y=sinx), sehingga satu gelombang penuh berakhir di 360^o

Berikut adalah gambar krva fungsi trigonometri f(x)=sin x+2

2. Gambarlah sketsa grafik fungsi trigonometri f(x)=cos x–1 dengan  0≤x≤360^o 

JAWAB :

Bisa dilihat f(x)=cos x–1   mempunyai amplitudo atau tinggi kurva A=1, dan periode kurva kosinus adalah x=360^o. Tanda –1 menandakan bawa kurva bergeser sejauh 1 satuan ke arah Bawah (lihat kurva acuan y=cosx), sehingga satu gelombang penuh berakhir di 360^o

Berikut adalah gambar kurva fungsi trigonometri f(x)=cos x–1

Menggambar Grafik Fungsi Trigonometri Untuk Translasi Horizontal dan Vertikal (Komposisi dua translasi berurutan )

1. Gambarlah sketsa grafik fungsi trigonometri f(x)=sin(x–30^o) +1 dengan   0≤x≤360^o

Bisa dilihat f(x)=sin(x–30^o) +1   mempunyai amplitudo atau tinggi kurva A = 1 , dan periode kurva sinus adalah x = 360^o. Tanda –30^o   menandakan bawa kurva bergeser sejauh 30^o satuan ke arah Kanan  dan  tanda ) +1    menandakan bawa kurva bergeser sejauh 1 satuan ke arah Atas (lihat kurva acuan y=sinx), sehingga satu gelombang penuh berakhir di 390^o

Berikut adalah kurva fungsi trigonometri f(x)=sin(x–30^o) +1

2. Gambarlah sketsa grafik fungsi trigonometri f(x)=2cos(x–60^o) –1 dengan   0≤x≤360^o

JAWAB :

Bisa dilihat f(x)=2cos(x–60^o) –1 mempunyai amplitudo atau tinggi kurva A = 2 , dan periode kurva sinus adalah x = 360^o. Tanda –60^o   menandakan bawa kurva bergeser sejauh 60^o satuan ke arah Kanan  dan  tanda ) -1    menandakan bawa kurva bergeser sejauh 1 satuan ke arah Bawah (lihat kurva acuan y=cosx), sehingga satu gelombang penuh berakhir di 420^o

Berikut ini adalah grafik fungsi trigonometrif(x)=2cos(x–60^o) –1

Lihat video cara cepat menggambar grafik fungsi trigonometri part 3

Cara Cepat sketsa Grafik Fungsi Trigonometri Part 3

CARA CEPAT MEMBACA GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

Saya akan berikan beberapa contoh cara mebaca grafik fungsi trigonometri jika diketahui gambar kurvanya. saran saya lihat video aja yah biar cepet paham.

CONTOH 1 :

1. Tentukan persamaan grafik fungsi berikut ini.

JAWAB :

Perhatikan kurva di atas.

• Mempunyai tinggi gelombang atau amplitude A = 2





• Mempunyai periode 360^o atau bisa di tulis x = 360^o





• Grafik mulai dari bawah di sumbu x sehingga merupakan kurva sinus

Maka persamaan kurva trigonometri tersebut adalah y = 2sin x

2. Tentukan persamaan grafik fungsi berikut ini.

JAWAB :

Perhatikan kurva di atas.

• Mempunyai tinggi gelombang atau amplitude A = 2





• Mempunyai periode 180^o atau bisa di tulis 2x = 360^o





• Grafik mulai dari bawah di sumbu x sehingga merupakan kurva sinus

Maka persamaan kurva trigonometri tersebut adalah y = 2sin 2x

3. Tentukan persamaan grafik fungsi berikut ini.

JAWAB :

Perhatikan kurva di atas.

• Mempunyai tinggi gelombang atau amplitude A = 2





• Mempunyai periode 120^o (mencapai 1 gelombang di 120^o) atau bisa di tulis  3x = 360^o





• Grafik mulai dari sumbu y di -2 naik ke atas sehingga merupakan kurva cosinus

Maka persamaan kurva trigonometri tersebut adalah y = – 2cos 3x

4. Tentukan persamaan grafik fungsi di bawah ini.

JAWAB :

Perhatikan kurva di atas.

• Grafik translasi keatas sejauh 1 satuan sehingga ditulis c = 1





• Mempunyai tinggi gelombang atau amplitude A = 2 – 1 = 1





• Mempunyai periode 360^o (mencapai 1 gelombang di 360^o) atau bisa di tulis  x = 360^o





• Grafik mulai dari bawah di koordinat (0^o, 1) sehingga merupakan kurva sinus

Maka persamaan kurva trigonometri tersebut adalah y =A sinx + c  y = sinx + 1

5. Tentukan persamaan grafik pada kurva dibawah

• Grafik translasi ke kanan  sejauh 50^o sehingga ditulis α =– 50^o





• Mempunyai tinggi gelombang atau amplitude A = 1





• Mempunyai periode 360^o (mencapai 1 gelombang di 360^o) atau bisa di tulis  x = 360^o





• Grafik mulai dari bawah di sumbu x  pada  koordinat  (50^o, 0)  sehingga merupakan kurva sinus

Sehingga fungsi trigonometrinya y = sin(x α)↔ y = sin(x – 50^o)

6. Tentukan persamaan grafik fungsi di bawah ini.

JAWAB :

• Grafik translasi ke atas sejauh 2 satuan sehingga ditulis c = 2





• Mempunyai tinggi gelombang atau amplitude A = 1





• Mempunyai periode 360^o (mencapai 1 gelombang di 360^o) atau bisa di tulis                    x = 360^o





• Grafik naik keatas tak hingga maka merupakan kurva tangen

Sehingga fungsi trigonometrinya y = Atanx  ↔  y = tanx

7. Tentukan persamaan grafik pada kurva dibawah ini.

JAWAB :

• Grafik translasi ke bawah sejauh 1 satuan sehingga ditulis c = - 1  





• Grafik translasi ke kiri sejauh 40^o sehingga ditulis α = 40^o





• Mempunyai tinggi gelombang atau amplitude A = 1





• Mempunyai periode 360^o (mencapai 1 gelombang di 360^o) atau bisa di tulis                    x = 360^o





• Grafik mulai dari bawah di koordinat (40^o, -1) sehingga merupakan kurva sinus

Sehingga fungsi trigonometrinya y = Asin(x+α)↔ y = sin(x+40^o)

8. Tentukan persamaan fungsi trigonometri pada kurva di bawah ini.

• Grafik translasi ke bawah sejauh 1 satuan sehingga ditulis c = - 1  





• Grafik translasi ke kanan sejauh 90^o sehingga ditulis α = -90^o





• Mempunyai tinggi gelombang atau amplitude A = 4





• Mempunyai periode 360^o (mencapai 1 gelombang di 360^o) atau bisa di tulis&nbs

Penerapan Aturan Sinus Dan Cosinus

Aplikasi penerapan rumus aturan sinus dan kosinus dalam kehidupan sehari-hari banyak dipakai dalam dunia kelautan, seperti menghitung jarak kapal jika diketahui sudut antara kapal atau mencari sudut antara dua kapal jika diketahui jarak masing-masing kapal.

Berikut ini saya sajikan contoh soal aplikasi aturan sinus dan kosinus.

CONTOH 1:

Dua kapal A dan B meninggalkan pelabuhan P bersama-sama. Kapal A berlayar dengan arah 030^o dan kecepatan 30 km/jam, sedangkan kapal B berlayar dengan arah 090^o dan kecepatan 45 km/jam. Jika kedua kapal berlayar selama 2 jam, maka jarak kedua kapal tersebut adalah?

JAWAB :

buatlah gambar lintasan kapal tersebut dengan jarak, kecepatan kapal dan sudut yang diketahui pada soal

Jarak PA = vA.t = 30 ×2 = 60 km
Jarak PB = vB.t = 45 ×2 = 90 km
α=∠APB=90^o – 30^o = 60^o
Gunakan aturan cosinus untuk mencari jarak AB

2. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B sejauh 40 mil dengan arah 30o dan kemudian berputar haluan dilanjutkan ke pelabuhan C sejauh 60 mil dengan arah 150o dari B. Jarak terdekat dari pelabuhan A dan C adalah ?
   JAWAB :

Gunakan aturan cosinus untuk mencari jarak AC

Aturan Cosinus

Jika segitiga ABC sembarang sebagai berikut

Maka berlaku :

a² = b² + c² –2 bc cosA

b² = a² + c² –2 ac cosB

c² = a² + b² –2 ab cosC

 Dan dari rumus diatas bisa dicari besar sudut segitiga :

CONTOH 1:

Diberikan , dengan  sudut A = 60^o  ,  b  = 8cm, dan c = 10 cm. Tentukan unsur-unsur yang lain.

JAWAB :

Gunakan aturan Cosinus untuk mencari panjang a

Gunakan aturan sinus untuk mencari Sudut B

Jadi besar sudut C adalah :

Lihat Video Untuk Contoh 1