Sudut Antara Dua Vektor

Materi berikut ini kita akan mempelajari besar sudut yang dibentuk antara dua vektor pada ruang dimensi 2 (R2) dan vektor dimensi 3 (R3), tetapi sebelumnya pelajari dahulu materi PANJANG VEKTOR karena rumus sudut antara dua vektor mengandung unsur panjang vektor.

Lihat gambar sudut antara dua vektor dibawah ini. kedua vektor membentuk sudut dengan arah tertentu.

sudut antara 2 buah vektor

jika θ membentuk sudut tidak nol maka berlaku rumus dibawah ini

1. Jika vektor

membentuk sudut θ maka rumus sudut antara dua vektor adalah:

2. Jika vektor

membentuk sudut θ maka rumus sudut antara dua vektor adalah:

Ada beberapa kasus yang berkaitan dengan sudut antara dua vektor dengan θ tertentu :

a. Jika θ = 0 , maka vektor a dan b searah pada suatu garis

b. jika θ = 90^o , maka vektor a dan b saling tegak lurus sehingga a.b = 0

c. jika θ = 180^o , maka vektor a dan b berlawanan arah pada suatu garis sehingga a.b = - |a|.|b|

Perhatikan Contoh 1 di bawah ini agar bisa menggunakan rumus sudut antara dua vektor, karena percuma saja jika hafal rumus tetapi tidak bisa menggunakannya

CONTOH 1 :

1. Tentukan besar sudut antara vektor,

JAWAB :

kemudian setelah mengerti penggunaan rumus sudut antara dua vektor, contoh berikutnya sedikit bermain aljabar dimana pada soal dibwah ini sudah diketahui sudut vektor yang dibentuk tetapi yang di cari adalah salah satu koordinat vektor pada ruang dimensi 2.

2. Jika sudut yang dibentuk antara vektor dibawah ini adalah tegak lurus

tentukan nilai x.

JAWAB :

Sudut Antara 2 vektor Contoh 1 no 1,2

Pada contoh no.1 dan 2 vektornya sudah diketahui, tetapi pada nomor 3 di bawah ini yang diketahui baru titik-titiknya saja maka kita harus mencari vektor yang mewakili titik A,B dan C dengan cara mencari garis yang mewakilinya seperti garis AB dan AC pada soal

3. Diberikan titik A (1,2,4), B (5,3,6), dan C (13,5,10). Tentukan sudut antara garis AB dan AC garis
   JAWAB :

Cari vektor AB dan AC

Cari panjang vektor AB dan AC

Maka sudutnya dapat dicari menggunakan rumus :

Jadi sudut antara garis AB dan ACadalah α= 0^o

Lihat Video untuk contoh 1 no.3

Sudut antara 2 vektor Contoh 1 no 3

contoh no.4 konsep penyelesaiannya sama seperti pada nomor 2, yaitu mencari koordinat titik pada vektor jika sudut antara kedua vektor sudah diketahui, tetapi bedanya sudut antara dua vektor tidak tegak lurus.

4. Diketahui vektor

dan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor itu adalah 45^o. Tentukan nilai x.

JAWAB :

Jadi nilai x adalah 0 dan 4

Lihat video untuk contoh 1 no.1

Sudut antara 2 Vektor contoh 1 no 4

Setelah memahami penjelasan contoh 1 yaitu mengaplikasikan rumus sudut antara dua vektor, berikutnya pada contoh 2 kita menyelesaikan berbagai variasi soal yang menggunakan rumus sudut antara dua vektor seperti membuktikan bahwa suatu segitiga merupakan segitiga siku-siku, mencari nilai trigometri lainnya seperti nilai sinus

CONTOH 2:

2. Titik-titik sudut ∆ABC adalah A(3, -1, 5), B(2, -2, 4), C(1, - 2, 5), buktikan bahwa segitiga itu siku-siku di B.

JAWAB :
Karena siku-siku di B maka garis yang tegak adalah AB dan BC, sehingga :

Jadi terbukti segitiga ABC adalah siku-siku.

Lihat video untuk contoh 2 no.2

Sudut Antara 2 vektor contoh 2 no 2

3. Diketahui  vektor

Tentukan nilai sinus sudut antara vektor a dan vektor b.

JAWAB :

Cari dahulu panjang vector a dan b.

Kemudian gunakan rumus sudut antara dua vector untuk mencari cos⁡α.

Setelah cos⁡α sudah didapat, kita bisa cari sin⁡α menggunakan rumus dibawah ini.

Lihat video untuk contoh 2 no.3

Sudut antara 2 vektor contoh 2 no 3

CONTOH 3:
Diketahui vektor u = 2i +2k dan v =ai+2j+4k. Jika vektor (2u - v) tegak lurus terhadap vektor u , tentukan nilai a.
JAWAB :

Jadi nilai a =4