Sudut Antara Dua Vektor

Materi berikut ini kita akan mempelajari besar sudut yang dibentuk antara dua vektor pada ruang dimensi 2 (R2) dan vektor dimensi 3 (R3), tetapi sebelumnya pelajari dahulu materi PANJANG VEKTOR karena rumus sudut antara dua vektor mengandung unsur panjang vektor.

Lihat gambar sudut antara dua vektor dibawah ini. kedua vektor membentuk sudut dengan arah tertentu.

sudut antara 2 buah vektor

jika θ membentuk sudut tidak nol maka berlaku rumus dibawah ini

1. Jika vektor

membentuk sudut θ maka rumus sudut antara dua vektor adalah:

2. Jika vektor

membentuk sudut θ maka rumus sudut antara dua vektor adalah:

Ada beberapa kasus yang berkaitan dengan sudut antara dua vektor dengan θ tertentu :

a. Jika θ = 0 , maka vektor a dan b searah pada suatu garis

b. jika θ = 90^o , maka vektor a dan b saling tegak lurus sehingga a.b = 0

c. jika θ = 180^o , maka vektor a dan b berlawanan arah pada suatu garis sehingga a.b = - |a|.|b|

Perhatikan Contoh 1 di bawah ini agar bisa menggunakan rumus sudut antara dua vektor, karena percuma saja jika hafal rumus tetapi tidak bisa menggunakannya

CONTOH 1 :

1. Tentukan besar sudut antara vektor,

JAWAB :

kemudian setelah mengerti penggunaan rumus sudut antara dua vektor, contoh berikutnya sedikit bermain aljabar dimana pada soal dibwah ini sudah diketahui sudut vektor yang dibentuk tetapi yang di cari adalah salah satu koordinat vektor pada ruang dimensi 2.

2. Jika sudut yang dibentuk antara vektor dibawah ini adalah tegak lurus

tentukan nilai x.

JAWAB :

Sudut Antara 2 vektor Contoh 1 no 1,2

Pada contoh no.1 dan 2 vektornya sudah diketahui, tetapi pada nomor 3 di bawah ini yang diketahui baru titik-titiknya saja maka kita harus mencari vektor yang mewakili titik A,B dan C dengan cara mencari garis yang mewakilinya seperti garis AB dan AC pada soal

3. Diberikan titik A (1,2,4), B (5,3,6), dan C (13,5,10). Tentukan sudut antara garis AB dan AC garis
   JAWAB :

Cari vektor AB dan AC

Cari panjang vektor AB dan AC

Maka sudutnya dapat dicari menggunakan rumus :

Jadi sudut antara garis AB dan ACadalah α= 0^o

Lihat Video untuk contoh 1 no.3

Sudut antara 2 vektor Contoh 1 no 3

contoh no.4 konsep penyelesaiannya sama seperti pada nomor 2, yaitu mencari koordinat titik pada vektor jika sudut antara kedua vektor sudah diketahui, tetapi bedanya sudut antara dua vektor tidak tegak lurus.

4. Diketahui vektor

dan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor itu adalah 45^o. Tentukan nilai x.

JAWAB :

Jadi nilai x adalah 0 dan 4

Lihat video untuk contoh 1 no.1

Sudut antara 2 Vektor contoh 1 no 4

Setelah memahami penjelasan contoh 1 yaitu mengaplikasikan rumus sudut antara dua vektor, berikutnya pada contoh 2 kita menyelesaikan berbagai variasi soal yang menggunakan rumus sudut antara dua vektor seperti membuktikan bahwa suatu segitiga merupakan segitiga siku-siku, mencari nilai trigometri lainnya seperti nilai sinus

CONTOH 2:

2. Titik-titik sudut ∆ABC adalah A(3, -1, 5), B(2, -2, 4), C(1, - 2, 5), buktikan bahwa segitiga itu siku-siku di B.

JAWAB :
Karena siku-siku di B maka garis yang tegak adalah AB dan BC, sehingga :

Jadi terbukti segitiga ABC adalah siku-siku.

Lihat video untuk contoh 2 no.2

Sudut Antara 2 vektor contoh 2 no 2

3. Diketahui  vektor

Tentukan nilai sinus sudut antara vektor a dan vektor b.

JAWAB :

Cari dahulu panjang vector a dan b.

Kemudian gunakan rumus sudut antara dua vector untuk mencari cos⁡α.

Setelah cos⁡α sudah didapat, kita bisa cari sin⁡α menggunakan rumus dibawah ini.

Lihat video untuk contoh 2 no.3

Sudut antara 2 vektor contoh 2 no 3

CONTOH 3:
Diketahui vektor u = 2i +2k dan v =ai+2j+4k. Jika vektor (2u - v) tegak lurus terhadap vektor u , tentukan nilai a.
JAWAB :

Jadi nilai a =4

Vektor Satuan

Vektor satuan adalah satuan vektor yang panjangnya satu satuan. Setiap vektor tidak nol dapat dibuat menjadi vektor satuan dengan cara membagi dengan panjang vektornya.

1. Jika,

adalah vektor, maka

adalah vektor satuan yang searah dengan vektor a

2. Jika,

adalah vektor, maka

adalah vektor satuan yang searah dengan vektor a

CONTOH 1 :

1. Diketahui vektor ,

tentukan vektor satuan a.

JAWAB :

Lihat Video Contoh 1 no. 1

Vektor satuan contoh 1

Perkalian Skalar Dua Vektor

     Perkalian skalar (scalar product) dua vektor disebut hasil kali titik atau perkalian titik (dot product) dua vektor.

1. Perkalian skalar dua vektor basis.

2. Sifat-sifat Perkalian Skalar Dua Vektor

    Jika a, b, c adalah vektor-vektor dan m adalah skalar  (bilangan real), maka berlaku sifat-sifat :

Mari kita aplikasikan rumus perkalian cros dan dot pada vektor pada contoh berikut.

CONTOH 1 :

Diberikan titik A(2,1),B(3,2),dan (6,-4) , jika , , mewakili vektor , dan . Tentukan nilai vektor :

JAWAB :

Lihat video untuk contoh 1

Perkalian Skalar Vektor contoh 1

Vektor-vektor Segaris (kolinier), Sebidang (koplanar) dan tidak sebidang

A. Vektor-Vektor Segaris

Titik-titik A, B, dan C dikatakan segaris (kolinier), jika dan hanya jika

  , atau vektor a dan vektor b dikatakan segaris (kolinier), jika hanya jika

, dengan k bilangan real.

B. Vektor-Vektor Sebidang

Vektor-vektor a dan b yang bukan vektor nol dan tidak kolinear dikatakan sebidang (koplanar) dengan vektor c jika dan hanya jika terdapat  bilangan real (skalar) m dan n sehingga ,

C. Vektor-vektor tidak sebidang

Vektor-vektor a, b, dan c bukan vektor nol adalah tidak koplanar, jika dan hanya jika memenuhi hubungan

, sehingga p = 0, q = 0,  dan r = 0. Oleh karena itu vektor-vektor a, b, dan c  tidak koplanar, maka vektor-vektor itu membentuk basis di ruang dimensi tiga (di R³).

CONTOH 1 :

1. Diketahui vektor a= (3, x, 8) dan b = (3, 9, y). Tentukan nilai 2x+y, jika vektor a dan b segaris.

JAWAB :

Jadi nilai 2x+y=2.1+24=26

2. Diberikan tiga buah titik A(2,-3,-5),B(4,3,7) dan C(8,p,q) ,jika titik-titik A, B, dan C segaris, hitung nilai p dan q. Kemudian tentukan rasio AB dan BC.

JAWAB :

Jadi AB : BC adalah :

Lihat video untuk contoh 1

Vektor Segaris Kolinier Contoh 1

CONTOH 2 :

1. Diberikan vektor a = 3i + 2j +k , b = 2i - j + 4k, dan c = 4i + 5j -2k .Jika  koplanar dengan a dan b , tentukan vektor c .

JAWAB :

karena vektor tersebut koplanar, maka berlaku rumus :

Gunakan persamaan 1 dan 2 (bebas) :

Lihat Video untuk contoh 2

Vektor Koplanar contoh 2

PANJANG PROYEKSI VEKTOR

1.. Proyeksi skalar ortogonal a pada b

     Hasil proyeksi skalar misalnya c maka :

2. Proyeksi vektor ortogonal a pada b

    Hasil proyeksi skalar misalnya c maka :

CONTOH 1 :

1. Diketahui vektor a = 3i +2j - 2k dan b = i +2j + 2k. Tentukan :

a. proyeksi skalar ortogonal a pada b

b. proyeksi skalar ortogonal b pada a

JAWAB :

a. proyeksi skalar ortogonal a pada b

b. proyeksi skalar ortogonal b pada a

2. diketahui vektor a = 3i +2j dan b = i +2j

a. proyeksi vektor ortogonal a pada b

b. proyeksi vektor ortogonal b pada a

JAWAB :

a. proyeksi vektor ortogonal a pada b

b. proyeksi vektor ortogonal b pada a

3. Diketahui vektor a = 3i + 2j, b = -mi + 2 j dan proyeksi skalar ortogonal vektor a pada b adalah (-5)/√13 . Tentukan nilai m.

JAWAB :

Kedua ruas dikuadratkan sehingga ,

Jadi nilai m = 9/23 dan m =3

Lihat video untuk contoh 1

Proyeksi ortogonal Skalar dan Vektor contoh 1

CONTOH 2:

1. Diberikan vektor a = (2,-1) , b = (3, -2) dan c = (1,-1) , Tentukan :

a. Panjang proyeksi ortogonal vektor c pada (a + b)

b. Proyeksi ortogonal vektor (a - c) pada 2b

JAWAB :

a. Panjang proyeksi ortogonal vektor c pada (a + b)

buat nilai (a + b) dahulu

panjang proyeksi ortogonal vektor c pada (a + b) kita anggap adalah d, sehingga :

b. Proyeksi ortogonal vektor (a - c) pada 2b

cari nilai (a - c) dahulu,

panjang proyeksi ortogonal vektor (a - c) pada 2b kita anggap adalah d, sehingga :

Lihat video contoh 2

Proyeksi Ortogonal Vektor dan Skalar Contoh 2