Disetiap kehidupan yang kita lalui sehari-hari tidak luput dengan yang namanya penyelesaian suatu kejadian atau solusi yang diselesaikan secara matematis. Misalnya dalam materi turunan trigonometri ini ada permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan oleh turunan trigonometri.
Berikut ini adalah aplikasi soal turunan dalam kehidupan hari-hari
CONTOH 1:
Pada hari yang cerah, tiang bendera setinggi 8 meter menghasilkan bayangan yang berubah sesuai sudut ketinggian Matahari. Misalkan s adalah panjang bayangan dan θ sudut elevasi Matahari (lihat gambar). Tentukan laju perubahan panjang bayangan θ ketika θ = 45◦. (Ekspresikan jawaban dalam satuan meter/derajat)
JAWAB :
Variabel s dan tinggi bendera 8 m sesuai dengan perbandingan tangen maka dapat kita gunakan perbandingan :
Sehingga laju perubahan panjang bayangan ketika
Ubah satuan radian (rad) menjadi derajat (deg)
Jadi ketika θ = 45◦ , panjang bayangan berkurang (karena hasilnya bertanda negatif) mendekati 0,28 m/derajat
LIHAT VIDEO PENJELASANNYA
Aplikasi Turunan Pertama Fungsi Trigonometri contoh 1
Pelajari Soal dan Pembahasan aplikasi Materi Turunan untuk mencari gradien, gradien garis singgung,garis normal pada kurva. Soal-soal yang saya buat ini untuk memperdalam dan juga sebagai latihan dalam menghadapi ulangan harian, UTS,UAS Ujian sekolah bahkan sebagai dasar mempelajari soal-soal UTBK.
Bagi kamu belum belajar materi Turunan secara lengkap kamu bisa klik link TURUNAN FUNGSI ALJABAR, disitu dibahas secara detai materi dasar dan rumus dasar turunan fungsi aljabar.
Semua soal ada kunci jawaban di akhir soal. jika kamu mau langsung melihat soal dan pembahasannya bisa lihat video dibawah ini :
soal dan pembahasan Aplikasi Turunan mencari Gradien,garis singgung dan garis normal pada kurva
SOAL 1
Gradien garis singgung kurva y=2x2-4 yang melalui titik singgung (1, - 2 ) adalah …. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
SOAL 2
Persamaan garis singgung kurva y=√x+1 yang melalui titik absis 4 adalah …. A. x+4y+8=0 B. x-4y-8=0 C. x-4y+8=0 D. -x-4y+8=0 E. -x+4y+8=0
SOAL 3
Persamaan garis singgung dari kurva y=1/3 x3+5/2 x2+6x+1 melalui titik (0, 1) adalah …. A. y=6x+1 B. y=6x-1 C. y=-6x+1 D. y=-3x-1 E. y=3x+1
SOAL 4
Persamaan garis singgung dari kurva y=(2x-3)4 yang sejajar garis 8x-y+4=0 adalah …. A. y=8x+13 B. y=8x-15 C. y=8x-6 D. y=-8x-6 E. y=-8x-13
SOAL 5
Persamaan garis singgung dari kurva y=8/x2 yang tegak lurus garis x+2y=6 adalah …. A. -x-y=0 B. -x-2y+3=0 C. 4x-2y-9=0 D. 4x+2y+9=0 E. 2x-y+9=0
SOAL 6
Persamaan garis normal dari kurva y=x2-x+2 melalui ordinat 4 adalah …. A. x+3y=14 B. x+3y=10 C. x+3y=-10 D. 3x-y=-1 E. 3x-y=-2
SOAL 7
Persamaan garis singgung pada kurva y=ax2+bx+4 melalui titik (- 1, 2) adalah x-y=5. Nilai a.b adalah …. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
SOAL 8
Persamaan garis singgung pada kurva y=ax2+5x+6 melalui titik (- 5, 6) dan sejajar garis bx+y=12 adalah y=-5x-19. Nilai a + b adalah …. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6
SOAL 9
Salah satu persamaan garis singgung kurva y=(2x-2)/(x+1) dengan gradien tan 45o adalah …. A. y=x+8 B. y=-x+8 C. y=x-1 D. y=x+1 E. y=-x-8
SOAL 10
Persamaan garis singgung kurva y=√x yang melalui absis m dengan gradien 1/m adalah …. A. x-4y-4=0 B. x-4y+4=0 C. x+4y+4=0 D. 4x-y+4=0 E. 4x-y-4=0
Jika y = f(x) = axm maka turunan pertama y=f(x) adalah y'=f(x)'=m.ax(m-1)
Jika y=f(x)=a(xn+b)m maka turunan pertama y=f(x) adalah y'=f(x)'=a.m.(xn+b)'.(x^n+b)(m-1)
CONTOH 1 :
Carilah turunan pertama dari :
a. f(x) = 4x - 5
b. f(x) = - x2 + 6x + 8
c. f(x) = 3/4 x4 - 2/3 x3 + 1/5 x2
JAWAB :
2. Carilah turunan pertama dari :
a. f(x) = (x + 3)(x - 5)
b. f(x) =(2x - 3)2
c. f(x) = x(x + 2)2
JAWAB :
Lihat Video Untuk Contoh 1
Turunan Pertama Fungsi Aljabar Contoh 1
untuk contoh selanjutnya turunan fungsi aljabarnya berbentuk pangkat negatif.
CONTOH 2:
Carilah turunan pertama dari fungsi berikut :
JAWAB :
Lihat video untuk contoh 2
Turunan Pertama Fungsi Aljabar Contoh 2
Agar contoh soal turunan lebih bervariasi lagi, saya berikan tipe soal turunan berbentuk akar pangkat tiga dan akar pangkat lima serta akar-akar yang dikali masuk. Semua tipe soal akar tersebut harus diubah menjadi bentuk pangkat agar mudah menyelesaikannya.
CONTOH 3:
Tentukan turunan pertama dari :
JAWAB :
Lihat video turunan bentuk akar untuk Contoh 3.
Turunan Pertama bentuk akar Contoh 3
Bagaimana jika soal turunannya berbentuk polinomial atau suku banyak? dan didalam polinomial tersebut terdapat fungsi aljabar. Bagai mana cara menyelesaikan turunan bentuk tersebut? mari lihat contoh 4.
CONTOH 4:
Tentukan turunan dari fungsi berikut :
JAWAB :
Lihat video untuk contoh 4
Turunan Pertama Fungsi Aljabar Contoh 4
Nah untuk contoh turunan atau diferensial berikut ini adalah bentuk akar tetapi didalamnya berbentuk polinomial atau suku banyak, tapi jangan kawatir konsep penyelesaiannya tetap sama dan tetap mudah kok hanya bentuknya saja berbeda. mari kita simak
CONTOH 5:
Tentukan turunan dari fungsi dibawah ini :
JAWAB :
Lihat video turunan fungsi akar dan polinomial untuk contoh 5
Turunan Pertama Fungsi Aljabar Contoh 5
Turunan Bentuk Perkalian
Turunan bentuk penjumlahan dan bentuk pengurangan dapat langsung kita turunkan dengan mudah, tetapi bagaimana jika ada dua buah fungsi dan kedua fungsi tersebut dikalikan misalnya fungsi u(x) dan fungsi v(x) dikali menjadi u(x).v(x). bagaimana cara menurunkannya fungsi tersebut jika dalam bentuk perkalian.
Untuk kasus tersebut menyelesaikannya harus menggunakan rumus, berikut rumusnya :
Rumus Turunan Bentuk Perkalian
Jika f(x)=u(x).v(x) , maka turunannya adalah :
f' (x)=u' (x).v(x)+v' (x).u(x).
2. Jika f(x)=u(x).v(x).w(x), maka turunannya adalah :
Supaya mahir menggunakan rumus di atas mari kita lihat contoh-contoh soal turunan dibawah ini :
CONTOH 1:
Tentukan turunan pertama dari :
JAWAB :
Lihat video turunan bentuk perkalian untuk contoh 1
Turunan Bentuk Perkalian Aljabar Contoh 1
Turunan Bentuk Pembagian
Jika ada turunan bentuk perkalian pasti ada temannya yaitu turunan/diferensial bentuk pembagian. Misalnya ada dua fungsi, fungsi u(x) dibagi oleh fungsi v(x) menjadi u(x)/v(x). Bentuk fungsi tersebut tidah bisa di turunkan langsung bagian pembilang dan bagian penyebut tetapi harus menggunakan rumus turunan bentuk pembagian seperti dibawah ini :
Rumus Turunan Bentuk Pembagian
rumus turunan bentuk pembagian
mari kita lihat contoh penggunaan rumus turunan diatas.
CONTOH 1 :
Tentukan turunan dari,
JAWAB :
Lihat Video Untuk Contoh 1 no. 1
turunan bentuk pembagian contoh 1 no.1
Lihat juga cara cepat turunan bentuk pembagian untuk contoh 1 no. 1
2. Tentukan turunan fungsi aljabar dibawah ini,
JAWAB :
Lihat video untuk contoh 1 no.2
turunan bentuk pembagian contoh 1 no.2
Lihat juga cara cepat turunan bentuk pembagian untuk contoh 1 no. 2
Setelah kita mempelajari Turunan Pertama Fungsi Aljabar mari kita mencari nilai dari hasil turunan fungsi aljabar. Contoh-contoh soal turunan yang disajikan berbentuk polinomial dan bentuk akar dan setiap soal ada pembahasan menggunakan video tutorial sehingga kamu bisa lebih memahami materi yang disajikan pada sub materi turunan aljabar ini.
Ayo kita lihat tipe-tipe soalnya...
CONTOH 1: 1. Jika f(x)=6x3+4x-2 maka nilai f'(2) adalah
JAWAB :
2. Jika f(x)=√(x2+5x-2) maka nilai f'(1) adalah
JAWAB :
3. Diketahui fungsi f(x)=x2+ax+3 dan f' (2)=8 , tentukan nilai a.
Garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung, sehingga gradien yang terbentuk oleh garis normal juga tegak lurus dengan gradien garis singgung (lihat gambar dibawah)
Perhatikan kurva diatas, garis g menyinggung kurvaf(x)=ax2+bx+c di titik A(x,y) dan garis normal n adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung g . Jika gradien garis g adalah mg = m , maka gradien garis normal yang tegak lurus dengan garis g adalah :
rumus gradien yang tegak lurus
CONTOH 1: 1. Carilah gradien garis normal dari persamaan y=x2+4x+3 dan melalui titik x=-3 JAWAB :
Gradien garis normalnya adalah
Gradien garis normal kurva y = 4/x2 adalah 1. Tentukan titik yang melalui garis normal tersebut . JAWAB :
Karena mn = 1 , maka gradien garis singgungnya adalah
Maka titk y dicari dengan substitusi x =2
Sehingga titik yang melalui garis normal tersebut adalah (2, 1)
Lihat video untuk contoh 1
Gradien garis normal contoh 1
CONTOH 2: Gradien garis normal kurva y=x2-bx+1/2 adalah 2 dan melewati ordinat 0 Tentukan nilai b. JAWAB : Diketahui gradien garis normal mn=2 maka gradien garis singgungnya adalah
Jadi nilai b=3/2 atau b = - 3/2
Lihat video untuk contoh 2
Mencari variabel b jika gradien garis normal diketahui contoh 2
Persamaan garis singgung dan garis normal adalah, garis singgung merupakan garis yang menyinggung kurva di satu titik dan garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung di titik yang sama dengan garis singgung pada kurva. Untuk lebih jelasnya lihat gambar kurva garis singgung dan garis normal dibawah ini.
garis singgung dan garis normal
Perhatikan kurva diatas, garis g menyinggung kurvaf(x)=ax2+bx+c di titik A(x,y) dan garis normal n adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung g . Jika gradien garis g adalah mg = m , maka gradien garis normal yang tegak lurus dengan garis g adalah
Maka persamaan garis singgung kurva menggunakan persamaan y-y1=mg (x-x1) dan persamaan garis normalnya adalah y-y1=mn (x-x1)
CONTOH 1: Carilah persamaan garis singgung dan garis normal kurva f(x)=x2+4x+5 melalui titik x=1 JAWAB : Cari gradien m garis singgung kurva, sebagai berikut : f(x)=x2+4x+5 m = f’(x) = 2x + 4 m = 2.1 + 4 = 6
Maka gradien garis normalnya adalah :
Dan titik y adalah
Persamaan garis singgungnya dengan m=6, x=1, y=10 :
Persamaan garis normalnya dengan gradient mn = - 1/6 , x=1, y=10 adalah :
Jadi persamaan garis sinngungnya 6x - y = 4 dan garis normalnya x + 6y = 61
Lihat video untuk contoh 1 no.1
Persamaan garis singgung dan garis normal contoh 1 no.1
2. Persamaan garis singgung kurva y = x3 – 4x +1 mempunyai gradient – 1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normalnya.
JAWAB : Diketahu gradient garis singgung m=-1 , maka gradient garis normalnya mn =1 substitusi gradient garis singgung tersebut dari turunan y = x3 – 4x +1 untuk mendapatkan nilai x. y = x3 – 4x +1 m = 3x2 – 4 -1= 3x2 – 4 3=3x2 ↔x2=1↔x=±1 Karena nilai x sudah diketahui, maka y bisa dicari dengan substitusi nilai x ke y = x3 – 4x +1. Untuk x = 1, y = 13 – 4. 1 + 1 = - 2 , sehingga titik singgungnya (1, - 2) Untuk x = - 1, y = (-1)3 – 4. (-1) + 1 = 4 , sehingga titik singgungnya (-1, 4) Jadi garis singgungnya ada 2 garis karena ada 2 titik singgung : Untuk titik (1, -2), m = -1 y – y1 = m(x – x1) y+2=-1(x-1) y=-x+1-2 x+y=-1 Untuk titik (-1, 4), m = -1 y – y1 = m(x – x1) y-4=-1(x+1) y=-x-1+4 x+y=3 Jadi garis singgungnya adalah x+y=-1 dan x+y=3
Dengan cara yang sama kita bisa mencari garis normalnya dengan gradien garis normalnmn =1 dan gunakan titik singgung (1, -2) dan (-1, 4), karena titik garis singgung sama dengan titik garis normal. Untuk titik (1, -2), m = 1 y – y1 = m(x – x1) y+2=1(x-1) y=x-1-2 y-x=-3 Untuk titik (-1, 4), m = -1 y – y1 = m(x – x1) y-4=1(x+1) y=x+1+4 y-x=5 Jadi persamaan garis normalnya adalah y-x=-3 dan y-x=5
3. Persamaan garis singgungnormal kurva y=√(x+1) mempunyai gradient 1/4. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normalnya.
JAWAB : Diketahu gradient garis singgung m=1/4 , maka gradient garis normalnya mn =-4 substitusi gradient garis singgung tersebut dari turunan y=√(x+1) untuk mendapatkan nilai x. y=√(x+1)=(x+1)1/2 y’=1/2(x+1)-1/2 m = 1/2(x+1)-1/2 1/4=1/2(x + 1)-1/2
Karena nilai x sudah diketahui, maka y bisa dicari dengan substitusi nilai x ke y=√(x+1). Untuk x = 3, y=√(3+1)=2 , sehingga titik singgungnya (3, 2)
Untuk titik (3, 2), m = 1/4 y – y1 = m(x – x1) y-2=1/4 (x-3). 4y-8=x-3 -x+4y=5 Jadi garis singgungnya adalah -x+4y=5
Dengan cara yang sama kita bisa mencari garis normalnya dengan gradien garis normal mn =-4 dan gunakan titik singgung (3, 2) ,karena titik garis singgung sama dengan titik garis normal. Untuk titik (3, 2), mn = -4 y – y1 = m(x – x1) y-2=-4(x-3) y=-4x+12+2 4x+y=14
Jadi persamaan garis normalnya adalah 4x+y=14
CONTOH 2 :
Tentukan persaman garis singgung kurva y = x2+3x yang sejajar garis y = 7x + 4
Tentukan persaman garis singgung kurva y = x3+2x+1 yang tegak lurus garis 5y+x – 2 = 0.
JAWAB :
Tentukan gradientnya dahulu dari persamaan y = 7x + 4 y = 7x + 4↔ m = 7, kemudaian cari titik singgungnya.
