GULAM HALIM: teoema sisa

Nilai Suku Banyak (Polinomial) dengan Metode Subtitusi

CONTOH 1:
1. f(x)=3x³-2x²+20x+4 . Hitunglah nilai suku banyak untuk x=-2 .
JAWAB :

2. f(x)=x³+mx²-x+1. Hitunglah nilai m agar nilai suku banyak sama dengan 27 untuk x=2.

JAWAB :

Lihat video untuk contoh 1

Menghitung Nilai Suku Banyak Metode Substitusi Contoh 1

CONTOH 2 :
Diberikan x³+x+2=0, tentukan nilai dari (x⁴+x³+x²+3x+6).
JAWAB :
Kita jabarkan dahulu suku banyak ( x⁴+x³+x²+3x+6 ).

Jadi nilai x⁴+x³+x²+3x+6 = 4

Lihat video untuk contoh 2

Nilai suku banyak x⁴+x³+x²+3x+6 contoh 2

Nilai Suku Banyak (Polinomial) dengan Metode Bagan

CONTOH 1:
1. Diketahui f(x)=3x⁴-4x³+2x²+5x-6. Hitunglah nilai suku banyak itu untuk x=-2 menggunakan metode bagan.
JAWAB :
Masukan semua koefisien suku banyak ke dalam bagan

Maka nilai suku banyak tersebut adalah 72

Kesamaaan Suku Banyak

CONTOH 1:

Diberikan kesamaan

Tentukan nilai A, B, dan C
JAWAB :

Jadi samakan koefisien ruas kiri dan kanan sesuai derajatnya

substitusi pers(1) san (2) dengan A = 2

Pers (1)

jadi nilai A =2, B = 3, dan C = 1

https://youtu.be/zA55r15KjA8

Kesamaan Suku Banyak Contoh 1

Pembagian Suku Banyak dengan Strategi Pembagian Bersusun

CONTOH 1:
1. Diberikan suku banyak f(x)=2x⁴-4x²+5x+6
a. Carilah hasil bagi dan sisanya jika f(x) dibagi dengan x+3
b. Tentukan nilai suku banyak f(x) untuk x=-3 , bandingkan hasilnya dengan sisa yang diperoleh pada soal (a).
JAWAB :

Sisa pembagian menggunakan cara pembagian bersusun menghasilkan hasil yang sama dengan cara substitusi langsung.

Lihat video untuk contoh 1

https://youtu.be/fevapbBXLtw

Pembagian Suku Banyak metode pembagian bersusun Contoh 1

Pembagian Suku Banyak dengan Strategi Bagan (Strategi Horner)

CONTOH 1:
Diberikan suku banyak f(x)=2x⁴-4x²+5x+6. Carilah hasil bagi dan sisanya jika f(x) dibagi dengan x+3

JAWAB :
Masukan koefisien dari suku banyak sesuai urutan derajatnya.

Dan hasil baginya adalah f(x)=2x³-6x²+14x-37

Lihat video untuk contoh 1

https://youtu.be/wGhSS7O8t4c

Pembagian Suku Banyak Metode Horner Contoh 1

Pembagian Suku Banyak Metode pembagian bersusun dan Metode Horner Dengan Pembagi tidak bisa difaktorkan

CONTOH 1:
Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak f(x)=x³+5x²-8x+2 dengan .
JAWAB :
Karena pembagi x²+x+1 tidak bisa difaktorkan, maka lebih mudah pembagian suku banyak menggunakan metode pembagian bersusun.

Lihat contoh 1 no. 1

https://youtu.be/zdQh72gLXVE

Pembagian Suku Banyak tidak bisa difaktorkan Contoh 1 no 1

Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak f(x)=x³+5x²-8x+2 dengan x²+2x-3 .

JAWAB :
Karena pembagi x²+2x-3 bisa difaktorkan, maka pembagian suku banyak bisa menggunakan metode horner dan metode pembagian bersusun. Di contoh ini saya menggunakan metode horner walaupun cara horner menjadi lebih sulit dibanding menggunakan pembagian bersusun.
Faktorkan pembagi

Kemudian masukan x = -3 dan x =1 ke metode horner

Maka hasil baginya adalah x+3
Dan sisanya diperoleh dengan cara :
Misal sisanya ax+b,

Eliminasi persamaan (1) dan (2) :

Sehingga sisanya adalah : ax+b = -11+11

TEOREMA SISA

Teorema Sisa 1

CONTOH 1:
Tentukan nilai m, jika suku banyak f(x)=2x⁴+mx³-2x²+6 dibagi dengan x+2 memberikan sisa -18
JAWAB:
x+2=0⟺x=-2
Untuk kasus ini kita gunakan substitusi langsung x=-2 dengan menggunakan teorema sisa untuk mencari m.

Lihat video untuk contoh 1 no. 1

https://youtu.be/mBjGnsFnM1U

Teorema sisa 1 Contoh 1 no 1

2. Tentukan nilai a dan b, jika suku banyak f(x)=-3x³+ax²-bx+9 dibagi dengan x-1 dan x-3 masing-masing meberikan sisa 5 dan – 51.

JAWAB :
Cari pembuat nol dari pembagi x-1 dan x-3
x-1=0⟶x=1
x-3=0⟶x=3
Untuk kasus ini bisa menggunakan substitusi langsung x=1 dan x=3 dengan menggunakan teorema sisa untuk mencari a dan b.

Eliminasi pers (1) dan (2)

Substitusi a = 4 ke pers (1) :

Jadi nilai a = 4 dan b = 5

Lihat video untuk contoh 1 no. 2

https://youtu.be/y9qiVMKbgzU

Teorema sisa 1 contoh 1 no 2

3. Tentukan nilai m dan n, jika suku banyak f(x)=x⁴ +mx³+nx²+x-12 dibagi dengan x²-4 menghasilkan sisa 9x+20.

JAWAB :
Cari pembuat nol dari pembagi x²-4

Tentukan nilai m dan n, jika suku banyak f(x)=x4 +mx3+nx2+x-12 dibagi dengan x2-4 menghasilkan sisa 9x+20.

Untuk mencari nilai sisanya :

Untuk kasus ini bisa menggunakan substitusi langsung x=2 dan x=-2 dengan menggunakan teorema sisa untuk mencari m dan n.

Eliminasi pers (1) dan (2)

Substitusi m = 2 ke pers (2) :

Jadi nilai m = 2 dan n = 4

Lihat video untuk contoh 1 no. 3

https://youtu.be/Yj-wh_Yg91A

Teorema sisa 1 contoh 1 no 3

4. Tentukan nilai p dan q, jika suku banyak f(x)=x³+px²+qx+6 habis dibagi oleh x²-5x+6.

JAWAB :
Cari pembuat nol dari x²-5x+ 6.

Tentukan nilai p dan q, jika suku banyak f(x)=x3+px2+qx+6 habis dibagi oleh x2-5x+6.

Untuk kasus ini bisa menggunakan substitusi langsung x=3 dan x=2 dengan menggunakan teorema sisa untuk mencari p dan q.

Eliminasi pers (1) dan (2) :

Jadi nilai p = - 4 dan q = 1

Lihat video untuk contoh 1 no. 4

https://youtu.be/sgTtc2QmAig

teorema sisa contoh 1 no. 4

CONTOH 2 :
Tentukan nilai a dan b, jika suku banyak f(x)=ax⁴-bx³+x²+x-4 dibagi dengan x²+2x+3 menghasilkan sisa 4x-31.
JAWAB :

Karena pembagi x²+2x+3 tidak bisa di faktorkan secara langsung maka untuk mencari nilai a dan b kita gunakan pembagian bersusun.

Karena 4x-31 dan (-1-b+4a)x-7-6b-3a sama-sama sisa pembagian, maka kita dapat menentukan nilai a dan b, dengan cara menyamakan koefisien:

Eliminasi pers (1) dan (2) :

Maka nilai a = 2 dan b = 3

Lihat video untuk contoh 2 no. 1

https://youtu.be/rd0oH3_EpsU

Teorema sisa 1 contoh 2 no 1

2. Tentukan nilai (a+b)² , jika suku banyak x³+ax²+bx-3 dibagi oleh x²+5x+6 bersisa 2ax+b

JAWAB :
Gunakan pembagian bersusun untuk mendapatkan sisa

Samakan koefisien kedua sisa tersebut :

Eliminasi pers (1) dan (2)

Substitusi a = 4 ke persamaan (2)

Maka (a+b)²=(4+3)²=49

Teorema Sisa 2

CONTOH 1 :
1. Suku banyak f(x) dibagi (x+3) dan (x+1) berturut-turut memberikan sisa 1 dan 2. Tentukan sisanya, jika f(x) dibagi x²+4x+3.
JAWAB :
Misal sisa = ax+b
Cari pembuat nol dari pembagi
x+3=0⟺x=-3
x+1=0⇔x=-1

Maka :

Eliminasi pers (1) dan (2)

Maka sisanya adalah :

2. Suku banyak f(x) dibagi (x+3) dan (x-1) berturut – turut memberikan sisa (x-4) dan (x+8). Tentukan sisanya, jika f(x) dibagi x²+2x-3.

JAWAB :
Misal sisa = ax+b
Cari pembuat nol dari pembagi
x+3=0⟺x=-3
x-1=0⇔x=1

Maka :

Eliminasi pers (1) dan (2)

Maka sisanya adalah :

Suku banyak g(x) dibagi (x²-4) dan (x²+x) berturut-turut memberikan sisa 2x+1 dan -x+1. Tentukan sisanya, jika g(x) dibagi x²-x-2.

JAWAB :
Kita faktorkan dahulu pembagi yang sudah diketahui sisanya

Faktorkan juga pembagi yang ditanyakan

Karena pembagi yang ditanyakan pembuat nolnya adalah 2 dan -1 maka yang kita substitusikan angka 2 dan -1
Misal sisa = ax+b, maka

Substitusikan pers (1) dan (2) :

Jadi sisa pembagianya adalah :

Lihat video untuk contoh 1

https://youtu.be/rXestyIxU4Q

Teorema Sisa 2 Contoh 1

CONTOH 2 :
Suku banyak g(x) dibagi (x+2),(x-1), dan (x+1) berturut-turut memberikan sisa -21 , 3 dan 1. Tentukan sisanya, jika dibagi x³+2x²-2x-2 .
JAWAB :
Karena pembaginya berderajat 3 maka sisanya berderajat 2, yaitu
Sisa = ax²+bx+c

Pembuat nol masing-masing pembagi adalah :

x+2=0⟺x=-2
x-1=0⇔x=1
x+1=0⇔x=-1

Maka :

Eliminasi pers (2) dan (3)

Eliminasi pers (2) dan (3)

Substitusi b = 1 ke persamaan (1)

Eliminasi pers (4) dan (5)

Jadi sisanya adalah :

Teorema Sisa 3

CONTOH 1:
Misal g(x) dan h(x) adalah suku banyak. Jika g(x) dibagi (x-1) sisa 3 dan jika dibagi (x+3) sisa 2. Jika h(x) dibagi (x-1) sisa -1 dan jika dibagi (x+3) sisa 4. Misal f(x)=g(x).h(x). Tentukan sisanya jika f(x) dibagi x²+2x-3.
JAWAB :
Misal sisa = ax+b
Tentukan pembuat nolnya :
x+3=0⟺x=-3
x-1=0⇔x=1

Maka :

Sehingga :

Eliminasi pers (1) dan (2)

Lihat video untuk contoh 1

https://youtu.be/w6QpBSnpJGE

Teorema Sisa 3 Contoh 1

CONTOH 2:
Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x²-x-6) bersisa (5x-2) , jika dibagi (x²+4x+3) bersisa (3x+4) . Tentukan Suku banyak tersebut.
JAWAB :

dibagi (x²-x-6) bersisa (5x-2).

Cari pembuat nol dari pembagi :

Misal suku banyak dibagi (x²+4x+3) hasil baginya adalah ax+b dan sisanya adalah (3x+4)

Eliminasi pers (1) dan (2)

Maka hasil baginya ax+b=-2x+b
Maka suku banyak berderajat tiga tersebut adalah :

Jadi suku yang berderajat 3 tersebut adalah f(x)=-2x³-2x²+21x+22

Lihat video untuk contoh 2

https://youtu.be/0B9sftmD0tQ

Suku banyak berderajat 3 contoh 2

Pembagian Istimewa

Pada pembagian istimewa diperoleh sisa S = 0 dan hasil bagi merupakan faktor dari f(x).
Berikut adalah pembagian istimewa :

Menentukan Suku ke-k dari Hasil Bagi Istimewa

rumus cepat suku ke n pembagian suku istimewa

CONTOH 1:

Carilah hasil bagi suku banyak dibawah ini :

JAWAB :

Lihat video untuk contoh 1 no. 1

https://youtu.be/bIVk7lCEw7g

pembagi istimewa suku banyak contoh 1 no. 1

2. Cari hasil bagi dari

JAWAB :

Lihat video untuk contoh 1 no. 2

https://youtu.be/Ic_ZFAQXo6Q

Pembagian Istimewa suku banyak contoh 1 no 2

3. Tentukan suku ke-11 dari pembagian (x²⁰ - y²⁰ ) dengan (x - y)

Lihat Cara Cepat di Video

https://youtu.be/paOKTczzR8k

Cara cepat Pembagian Istimewa Suku banyak contoh 1 no 3

Akar-Akar Suku Banyak (Polinomial)

CONTOH 1:
Carilah faktor dan akar-akar suku banyak f(x)=x^3+4x^2+x-6.
JAWAB :
Gunakan cara trial error dengan ….

Sehingga hasil baginya adalah x²+5x+6
Kemudian hasil baginya difaktorkan lagi :

2. Carilah faktor dan akar-akar suku banyak f(x)=6x⁴+11x³-21x²-44x-12

JAWAB :
Gunakan cara trial error dengan ….

Sehingga hasil baginya adalah 6x²+7x - 3

Kemudian hasil baginya difaktorkan lagi :

Maka faktornya adalah (x-2),(x+2),(3x-1),dan (2x+3) dan akar-akarnya x=2,x=-2,x=1/3,dan x=-3/2

Lihat video untuk contoh 1

https://youtu.be/z1Li1xtFrJk

akar suku banyak contoh 1

CONTOH 2:
Carilah faktor suku banyak f(x)=2sin³ x+3sin² x-3sinx-2.
JAWAB :
Gunakan cara trial error dengan ….

Faktornya adalah (sin⁡x-1).
Kemudian hasil baginya difaktorkan lagi :

Jadi faktor-faktornya adalah (sin⁡x-1),(2 sin⁡x+1),dan (sin⁡x+2)

2. Jika -2 adalah salah satu akar persamaan f(x)=x⁴+ax³-3x²-7x+6, carilah nilai a dan akar-akar yang lainnya

JAWAB :
Karena -2 adalah salahsatu akarnya, maka

Jadi suku banyak tersebut adalah

Jadi suku banyak tersebut adalah
f(x)=x⁴+3x³-3x²-7x+6
Dan akar-akar yang lain adalah :

Faktorkan hasil baginya

Akar-akarnya adalah x=-2,x=1,x=-3

Lihat video untuk contoh 2

https://youtu.be/DUn0bl1DI8g

Akar suku banyak contoh 2

Sifat-sifat Akar Suku Banyak (Polinomial)

Persamaan Kuadrat (Pangkat Dua)
Jika x₁ dan x₂adalah akar-akar persamaan kuadrat ax²+bx+c=0, dengan a≠0, a ,b,c∈R, maka :

Persamaan Kubik (Pangkat Tiga)
Jika x₁, x₂ dan x₃ adalah akar-akar persamaan ax³+bx²+cx+d=0, maka :

rumus akar-akar suku banyak berderajat 3

Persamaan Pangkat Empat
Jika x₁, x₂ , x3 dan x₄ adalah akar-akar persamaan ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0, maka :

CONTOH 1 :
Diberikan suku banyak f(x)=6x³+x²-2x+8, carilah nilai :

JAWAB :

a = 6, b = 1, c = -2, d = 8

2. Diberikan suku banyak f(x)=2x⁴+6x³-x²-2x+8, carilah nilai :

JAWAB :

a = 2, b = 6, c = -1, d = -2, e = 8

Lihat video untuk contoh 1

https://youtu.be/pB-6wPZf0jw

Rumus jumlah hasil kali suku banyak contoh 1

CONTOH 2 :
Akar- akar dari persamaan f(x)=2x³-x²+4x-6 adalah p, q, dan r. Tentukan nilai dari (p²+q²+r²)(1/p+1/q+1/r).

JAWAB :

CONTOH 3 :
Diberikan persamaan :
x³+8x²+19x+k=0 yang akar-akarnya x₁, x₂, dan x₃ . Jika x₁ + x₂ = x₃. Carilah nilai k dan akar-akarnya.
JAWAB :