GULAM HALIM

Minggu, 26 Maret 2023

Soal Cerita Aplikasi Turunan

Berikut ini akan kita bahas soal aplikasi turunan dalam kehidupan sehari-hari. aplikasi soal turunan menggunakan konsep titik balik maksimum dan titik balik minimum untuk menentukan harga maksimum dan minimum.

CONTOH 1:
1. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat mendatar sedemikian, sehingga posisinya pada saat t ditentukan dengan persamaan s=f(t)=t³+9t²+24t-36, t≥0 dengan s diukur dalam meter dan t dalam detik.
a. Carilah kecepatan dan percepatan partikel sebagai fungsi waktu t.
b. Kapan kecepatan partikel 0?
c. kapan percepatan partikel 0?
JAWAB :

a. Dari persamaan posisi s=f(t)=t³+9t²+24t-36

untuk mencari kecepatan v menggunakan turunan pertama.
Kecepatan V(t)=ds/dt=3t²+18t+24
Dan mencari percepatan a menggunakan turunan ke dua.
Percepatan a(t)=dv/dt=6t^2+18
b. Kecepatan partikel 0 pada saat :

Jadi kecepatan partikel 0 pada saat t= -4 atau t=-2
c. Percepatan partikel 0 pada saat :

Lihat Video Untuk Contoh 1 no.1

Aplikasi soal turunan contoh 1 no 1

2. Jumlah dua buah bilangan adalah 50. Carilah hasil kali dua bilangan itu yang terbesar :

JAWAB :
Misal dua bilangan itu adalah x dan y, maka jumlah kedua bilangan itu :
x+y=50 ↔y=50-x
Dan hasil kedua bilangan tersebut :

Titik stasioner fungsi P(x) tercapai bilanP' (x)=0 , maka :

Maka y=50-x=50-25=25
Jadi hasil kali kedua bilangan itu yang terbesar adalah
P=xy=25.25=625
Atau bisa menggunakan persamaan
P(x)= 50x-x²
P(25)= 50.25-25²=625

Lihat Video untuk contoh 1 no.2

https://youtu.be/u7h652QrSog

Aplikasi soal turunan contoh 1 no 2

3. Diberikan bilangan x dan y yang memenuhi hubungan x+3y=12. Hitunglah nilai minimum dari x²+y².

JAWAB :

Turunan pertama dan kedua dari fungsi P(x) adalah dan P"(x)=16/9 , maka Titik stasioner dari fungsi P(x) bila P^' (x)=0 :

Karena P"(-3/2)=-3/2>0 maka berdasarkan uji turunan kedua, fungsi P(x) merupakan titik balik minimum.
Nilai balik minimumnya adalah :

Lihat Video Untuk contoh 1 no.3

https://youtu.be/dnvuVtI6uj0

Aplikasi soal turunan contoh 1 no 3

4. Persegi panjang manakah yang mempunyai luas terbesar, jika kelilingnya 900 cm ?

JAWAB :
Misalkan sisi-sisi persegi panjang tersebut adalah x cm dan y cm, dan luasnya L(x), maka :
Keliling persegi panjang =900 cm
2(x+y)=900↔y=450-x
Luas persegi panjang adalah L(x)=xy , maka :

Turunan pertama dan kedua dari fungsi L(x)adalah L^' (x)=450-2x dan L"(x)=-2
Titik stasioner dari fungsi L(x)dicapai bila L^' (x)=0, maka :

Karena L"(225)=-2<0 , maka berdasarkan uji turunan kedua, fungsi L(x)mencapai nilai balik maksimum dan nilai balik maksimumnya adalah :
x =225→L(x)=450x-x²
L(225)=450.225-225²=50.625

Lihat Video unruk contoh 1 no.4

https://youtu.be/a6QLjfh66f8

Aplikasi soal turunan contoh no 4

5. Dari selembar karton berbentuk persegi panjang yang berukuran panjang 15 cm dan lebar 10 cm akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan cara menggunting empat buah persegi di setiap pojok karton, seperti gambar dibawah ini.

Volume kotak terbesar adalah.
JAWAB :
Setelah dilipat

misalkan x cm adalah sisi persegi yang harus digunting dan V adalah volume kotak yang dihasilkan, maka :

Turuna pertama dan kedua fungsi V(x) adalah V' (x)=12x²-88x+96 dan V"(x)=24x-88
Titik stasioner dari fungsi V(x) dicapai bila V' (x)=0

Nilai stasioner untuk x=4/3 adalah f(4/3)=4(4/3 )³-50(4/3 )²+150(4/3)=4456/27
Nilai stasioner untuk x=6 adalah f(6)=4(6)³-50(6)²+150(6)=-36
Maka nilai balik maksimumnya adalah f(4/3)=4456/27 . Dan dapat disimpulkan kotak mempunyai volume maksimum 4456/27 cm³

6. Jika suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari, maka biaya proyek per hari menjadi (2x+4800/x-80)juta rupiah. Tentukan biaya minimum dari proyek tersebut !

JAWAB :
Biaya proyek per hari :
b(x)=(2x+4800/x-80) juta rupiah
Maka biaya proyek dalam x hari adalah :

Turunan pertama dan kedua dari B(x) adalah B' (x)=4x-80 dan B"(x)=4 .
Nilai stasioner fungsi B(x) dicapai bila B' (x)=0, maka :

Karena untuk x=20,maka B"(20)=4>0 menurut uji turunan kedua mempunyai titik balik minimum dan nilai balik minimumnya adalah B(20)=2(20)²+4800-80(20)=4000.
Jadi biaya proyek minimum adalah 4000 Juta rupiah

Lihat video untuk contoh 6

https://youtu.be/_aCjux56wkY

Aplikasi soal turunan contoh 1 no 6

Sebuah roket ditembakkan vertikal keatas. Dalam waktu t detik tinggi h meter ditentukan dengan persamaan h(t) = 480t – 4t². Carilah nilai t yang menyebabkan h menjadi maksimum dan nilai h maksimum tersebut.
JAWAB :
Turunan pertama dan kedua dari h terhadap t adalah h’(t) = 480 – 8t dan h”(t) = - 8
Titik stasioner dari h(t) dicapai bila h’(t) = 0, maka :
480 – 8t = 0
t = 60
Karena untuk t = 60,maka h”(t) = - 8 < 0 menurut uji turunan kedua mempunyai titik balik maksimum dan nilai balik maksimumnya adalah
h(60) = 480(60) – 4(60)2 = 14400 meter

Lihat video untuk contoh 7

https://youtu.be/gFjEzztn8MA

Aplikasi soal turunan contoh 1 no 7

Soal dan Pembahasan Turunan Stasioner Interval Naik Turun Titik Belok Maksimum Minimum-Tipe 1

Pembahasan soal turunan kali ini kita akan mengambil sub materi aplikasi turunan dalam mencari titik stasioner pada fungsi, mencari interval kapan fungsi naik atau turun, mencari titik belok jika ada , interval kapan fungsi cekung keatas dan kebawah, dan nilai maksimum dan minimum pada fungsi.

Untuk mengetahui materi dasar turunan ada baiknya kamu pelajari dahulu TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Lihat langsung video pembahasan dibawah ini jika kamu ingin langsung belajar

Soal dan Pembahasan Turunan Stasioner Interval naik turun Titik belok dan maksimum minimum-tipe 1

Kerjakan latihan dibawah ini jika kamu ingin latihan dahulu. kunci jawaban ada dibawah setelah soal

SOAL 1

Titik stasioner dari fungsi fx)=2x²+8x+6 adalah ….
A. (-2,-2)
B. (2,38)
C. (-2,4)
D. (2,36)
E. (-2,0)

SOAL 2

Nilai balik minimum dari fungsi f(x)=1/3 x³+1/2 x²-2x-4 adalah ….
A. 20/3
B. 2/3
C. -2/3
D. 31/6
E. -31/6

SOAL 3

Fungsi f(x)=1/3 x³+1/2 x²-6x+8 turun pada interval ….
A. x<2 atau x>3
B. x<-3 atau x>2
C. -3<x<-2
D. -3<x<2
E. 2<x<3

SOAL 4

Fungsi f(x)=2/3 x³-7/2 x²-4x+1 naik pada interval ….
A. x<-1/2 atau x>4
B. x<1/2 atau x>4
C. x<-4 atau x>1/2
D. -4<x<-1/2 atau x>4
E. -1/2<x<4

SOAL 5

Koordinat titik belok pada fungsi f(x)=x³+12x²+48x-60 adalah ….
A. (4,-76)
B. (-4,-76)
C. (-4,76)
D. (-4,-124)
E. (4,-124)

SOAL 6

Koordinat titik belok fungsi f(x)=x³-5/2 x²+2x+20 adalah ….
A. (2/3,41/27)
B. (1,3/2)
C. (-1,3/2)
D. (2/3,-41/27)
E. Tidak ada titik belok

SOAL 7

Pada interval mana fungsi f(x)=x⁴+2x³-36x²+8 cekung keatas
A. -2<x<3
B. 2<x<3
C. x<-3 atau x>2
D. x<2 atau x>3
E. x<-2 atau x>3

SOAL 8

Manakah pasangan fungsi dibawah ini merupakan fungsi tidak pernah turun dan tidak pernah naik :
(1). f(x)=-3x³-3x²-x+9
(2). f(x)=4x³+6x^²+3x-12
(3). f(x)=x³-12x²+48x+45
(4). f(x)=-4x³+6x²-3x-27
A. (1) dan (2)
B. (2) dan (1)
C. (1) dan (3)
D. (2) dan (4)
E. Semua jawaban diatas salah

SOAL 9

Manakah pasangan fungsi dibawah ini merupakan fungsi selalu turun dan selalu naik :

(1). f(x)=-3x³-3x²-x+9
(2). f(x)=4x³+6x^²+3x-12
(3). f(x)=-x³-12x²+48x+45
(4). f(x)=-4x³+6x²-3x-27
A. (1) dan (2)
B. (2) dan (1)
C. (1) dan (3)
D. (2) dan (4)
E. Semua jawaban diatas salah
SOAL 10

Diketahui fungsi f(x)=x³+6x²+9x+1, mempunyai nilai balik maksimum a dan nilai balik minimum b. Nilai a – b = ….
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Kunci Jawaban

1	A	6	E	11	16
2	E	7	C	12	17
3	D	8	B	13	18
4	A	9	A	14	19
5	D	10	D	15	20

Integral Taktentu Fungsi Aljabar

Integral tak Tentu Aljabar

RUMUS INTEGRAL TAK TENTU ALJABAR

Rumus cepat Integral Bentuk Akar :

kita lihat contoh-contoh soal dibawah ini agar bisa lebih memahami penggunaan rumus integral aljabar

CONTOH 1:

Tentukan integral dari fungsi berikut ini :

JAWAB :

untuk soal integral no.2 dibawah ini caranya masih sama hanya suku-sukunya lebih banyak, integralnya berbentuk perkalian dan pangkatnya berbentuk pecahan. dibuat soal integral seperti itu agar memahami berbagai variasi soal integral

2. Tentukan integral dari fungsi berikut ini :

JAWAB :

Kemudian untuk soal integral no.3 kita coba soal integral berbentuk akar dimana integral bentuk tersebut harus diubah menjadi bentuk pangkat untuk memudahkan penyelesaian soal integral. setelah selesai di integralkan, kembalikan lagi hasil integral tersebut ke bentuk akar walaupun tidak wajib dikembalikan ke bentuk semula. mari kita lihat saja soalnya...

3. Tentukan integral dari fungsi berikut ini :

JAWAB :

Lihat Video untuk contoh 1

Integral aljabar contoh 1

Selanjutnya untuk contoh soal integral dibawah ini diberikan soal sedikit bervariasi dalam segi bentuk dan dalam segi operasi perkalian dan pembagian integral bentuk akar. integral bentuk akar ini sengaja saya berikan agar bisa menajamkan lagi operasi perkalian dan pembagian akar dan eksponen.

CONTOH 2 :
Selesaikan integral dibawah ini :