FUNGSI KOMPOSISI

FUNGSI KOMPOSISI

Jika f dan g adalah dua buah fungsi sedemikan, sehingga f:A→B dan g:B→C , maka komposisi fungsi goh:A→C ditentukan oleh rumus(goh)(x)=g(f(x)),x∈A .

fungsi komposisi

CONTOH 1 :

1. Diketahui,

Tentukan :

a. (gof)(2)

b. (fog)(5)

JAWAB :
a. (gof)(2)
(gof) artinya fungsi f di komposisikan ke fungsi g.
Perhatikan fungsi f pada angka 2 dipetakan ke angka 3 sehingga menjadi (2, 3), lalu lihat fungsi g angka 3 dipetakan ke angka 1 sehingga menjadi (3, 1). Jadi hasil dari (gof)(2) = 1

b. (fog)(5)
artinya fungsi f di komposisikan ke fungsi g.

Perhatikan fungsi f pada angka 5 dipetakan ke angka 3 sehingga menjadi (5,3) , lalu lihat fungsi g angka 3 dipetakan ke angka 4 sehingga menjadi (3,4). Jadi hasil dari (fog)(5) = 4

Lihat Video untuk contoh 1 .

Dasar-dasar Fungsi Komposisi contoh 1

FUNGSI KOMPOSISI 1

CONTOH 1

1. diketahui fungsi :

f(x) = 3x - 4

g(x) = 2x + 1

h(x) = x² + 2x - 3

JAWAB :

Tentukan fungsi komposisi :

a. (fog)(x) =

b. (goh)(x) =

c. (fogoh)(x) =

JAWAB :

Lihat video untuk contoh 1 no.1

Fungsi Komposisi 1 Contoh 1 no 1

2. Diketahui fungsi :

Tentukan fungsi komposisi :

a. (fog)(1) =

b. (goh)(4) =

c. (hogof)(-1) =

JAWAB :

Lihat video untuk contoh 1 no.2

fungsi komosisi 1 contoh 1 no.2

Fungsi Komposisi 2

CONTOH 1 :

1. Jika (fog)(x)=4x + 3 dan f(x)=2x-1. Carilah g(x)

JAWAB :

2. Jika (gof)(x) = x² +3 dan g(x) = 2x + 3. Carilah fungsi f(x)

JAWAB :

3. Jika (fog)(x) = 4x² +12x +7 dan f(x) = x² - 2. Carilah fungsi g(x)

JAWAB :

Jadi g(x) = 2x + 3 atau g(x) = -2x - 3

4. Jika (fog)(x) = 8x -7 dan g(x) = 2x - 4. Carilah fungsi f(x)

JAWAB :

Lihat video untuk fungsi komposisi 2 contoh 1

Fungsi Komposisi 2 Contoh 1

CONTOH 2 :

Jika g(x) = 2x² + 3x + 1 dan (gof) = 8x² + 14x + 6. Tentukan fungsi f(x)

JAWAB :

Karena (gof)(x) merupakan fungsi kuadrat maka f(x) pasti persamaan linier, sehingga dapat kita misalkan fungsi f(x) = ax + b.

Ruas kiri dan kanan adalah sama, maka :

Disini saya pakai a = 2

Sehingga,

Lihat video untuk fungsi komposisi 2 contoh 2

Fungsi komposisi 2 contoh 2

Fungsi Komposisi 3

CONTOH 1 :

1. Jika (fogoh)(x) = -3x +4 dan f(x) = 4x + 2. carilah fungsi (goh)x .

JAWAB :

Lihat video untuk Fungsi Komposisi 3 contoh 1 no.1

.Fungsi Komposisi 3 contoh 1 no 1

2. JJika (hogof)(x) = x² - 1 dan h(x) = x² +4x + 3. Carilah fungsi (gof)(x).

JAWAB :

Karena (hogof)(x)) merupakan fungsi kuadrat maka (gof)(x) pasti persamaan linier, sehingga dapat kita misalkan fungsi (gof)(x) = ax + b.

Ruas kiri dan kanan adalah sama, maka :

Disini saya pakai a = 1

Sehingga,

Lihat Video untuk Fungsi Komposisi 3 contoh 1 no.2

Fungsi komposisi 3 contoh 1 no.2

FUNGSI INVERS

Fungsi Invers

Jika fungsi f:A→B, dangan f={(x,y)|y=f(x),x∈A,y∈B}, maka relasi g:B→A, dengan g=(y,x)|x=g(x),x∈A,y∈B} dinamakan invers fungsi f ditulis f^-1 Jika f^-1 merupakan fungsi, maka f^-1 dinamakan fungsi invers dan jika f^-1 bukan merupakan fungsi maka f^-1 dinamakan invers f. Jika g ada, g dinyatakan dengan f^-1 , sehingga f^-1(y)=x↔f(x)=y.

Rumus Cepat Invers :

CONTOH 1:

1. Nyatakan invers dari fungsi f dalam himpunan pasangan terurut f = { (1, 3), (2, 5), (3, 7) }

JAWAB :

Untuk fungsi invers domain (x) ditukar menjadi kodomain (y), sehingga invers fungsi f adalah :

f^-1 = {(3, 1), (5, 2), (7, 5)}

2. Tentukan invers dari fungsi dibawah ini :

JAWAB :

*Lihat cara cepatnya divideo

3. Tentukan invers dari fungsi dibawah ini :

JAWAB :

Lihat Video untuk fungsi invers contoh 1

Cara Cepat Fungsi Invers Contoh 1

CONTOH 2:

1. Tentukan invers dari fungsi :

a. f(x) = x² - 4

b. f(x) = (x - 2)²

c. f(x) = x² + 10 x - 25

JAWAB :

2. Tentukan invers dari fungsi f(x) = x² + 4x + 1
   JAWAB :

Lihat Video Cara cepat Fungsi Invers Contoh 2

Cara Cepat Fungsi Invers Contoh 2

CONTOH 3:
1. Jika m^-1 (x) = 4^{2x - 14}, dan m(r) - 8. Tentukan
nilai r
JAWAB :

Lihat video untuk contoh 3

Fungsi Invers Contoh 3

FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS

Tipe soal selanjutnya adalah menggabungkan fungsi komposisi dengan fungsi invers, seperti contoh 1 di bawah ini.

CONTOH 1 :

1. Jika f(x - 3) = 4x + 7. Carilah fungsi f(x).

JAWAB :

Inves (x-3) menjadi (x+3) dan hasilnya substitusikan ke (4x+7), maka otomatis akan menjadi fungsi f(x).

2. Jika f(x + 2) = 2x² + 5x - 6. Carilah fungsi f(x).

JAWAB :

Invers (x+2) menjadi (x-2) dan hasilnya substitusikan ke (2x²+5x-6), maka otomatis akan menjadi fungsi f(x).

3. Jika fungsi f(x) = 2x - 3 dan g(x) = x + 7. Buktikan (fog)^-1 (x) = (g^-1 o f^-1 )(x)

JAWAB :

Terbukti (fog)^-1 (x) = (g^-1 o f^-1 )(x)

Lihat video contoh 1

Fungsi Komposisi dan Invers contoh 1

CONTOH 2 :

1. Jika (fog)(x) = 2x - 1, carilah fungsi g(x) = x + 4. Jika fungsi f(x) menggunakan metode invers.

JAWAB :

        Ruas kanan dan kiri di komposisi oleh fungsi g^-1

Lihat video untuk contoh 2 no.1

Fungsi Komposisi dan Invers Contoh 2 no 1

Untuk contoh nomor 2 diketahui fungsi invers f^-1 (x+3) dan fungsi komposisi (gof)(x), tetapi yang ditanyakan adalah fungsi g(x+2). untuk menyelesaikan soal tersebut, fungsi f^-1 (x+3) diubah menjadi f(x+1) dengan cara di invers lagi. untuk lebih jelasnya lihat soal dibawah ini.

JAWAB :

Pertama kita harus cari fungsi f(x + 3)

Kemudian tentukan fungsi f(x) dan f(x + 3)

Maka kita komposisi fungsi f^-1 (x) keruas kiri dan kanan untuk mendapatkan fungsi g(x)

Lihat video untuk contoh 2 no.2

Fungsi Komposisi dan invers Contoh 2 no 2

Sudut Antara Dua Vektor

Materi berikut ini kita akan mempelajari besar sudut yang dibentuk antara dua vektor pada ruang dimensi 2 (R2) dan vektor dimensi 3 (R3), tetapi sebelumnya pelajari dahulu materi PANJANG VEKTOR karena rumus sudut antara dua vektor mengandung unsur panjang vektor.

Lihat gambar sudut antara dua vektor dibawah ini. kedua vektor membentuk sudut dengan arah tertentu.

sudut antara 2 buah vektor

jika θ membentuk sudut tidak nol maka berlaku rumus dibawah ini

1. Jika vektor

membentuk sudut θ maka rumus sudut antara dua vektor adalah:

2. Jika vektor

membentuk sudut θ maka rumus sudut antara dua vektor adalah:

Ada beberapa kasus yang berkaitan dengan sudut antara dua vektor dengan θ tertentu :

a. Jika θ = 0 , maka vektor a dan b searah pada suatu garis

b. jika θ = 90^o , maka vektor a dan b saling tegak lurus sehingga a.b = 0

c. jika θ = 180^o , maka vektor a dan b berlawanan arah pada suatu garis sehingga a.b = - |a|.|b|

Perhatikan Contoh 1 di bawah ini agar bisa menggunakan rumus sudut antara dua vektor, karena percuma saja jika hafal rumus tetapi tidak bisa menggunakannya

CONTOH 1 :

1. Tentukan besar sudut antara vektor,

JAWAB :

kemudian setelah mengerti penggunaan rumus sudut antara dua vektor, contoh berikutnya sedikit bermain aljabar dimana pada soal dibwah ini sudah diketahui sudut vektor yang dibentuk tetapi yang di cari adalah salah satu koordinat vektor pada ruang dimensi 2.

2. Jika sudut yang dibentuk antara vektor dibawah ini adalah tegak lurus

tentukan nilai x.

JAWAB :

Sudut Antara 2 vektor Contoh 1 no 1,2

Pada contoh no.1 dan 2 vektornya sudah diketahui, tetapi pada nomor 3 di bawah ini yang diketahui baru titik-titiknya saja maka kita harus mencari vektor yang mewakili titik A,B dan C dengan cara mencari garis yang mewakilinya seperti garis AB dan AC pada soal

3. Diberikan titik A (1,2,4), B (5,3,6), dan C (13,5,10). Tentukan sudut antara garis AB dan AC garis
   JAWAB :

Cari vektor AB dan AC

Cari panjang vektor AB dan AC

Maka sudutnya dapat dicari menggunakan rumus :

Jadi sudut antara garis AB dan ACadalah α= 0^o

Lihat Video untuk contoh 1 no.3

Sudut antara 2 vektor Contoh 1 no 3

contoh no.4 konsep penyelesaiannya sama seperti pada nomor 2, yaitu mencari koordinat titik pada vektor jika sudut antara kedua vektor sudah diketahui, tetapi bedanya sudut antara dua vektor tidak tegak lurus.

4. Diketahui vektor

dan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor itu adalah 45^o. Tentukan nilai x.

JAWAB :

Jadi nilai x adalah 0 dan 4

Lihat video untuk contoh 1 no.1

Sudut antara 2 Vektor contoh 1 no 4

Setelah memahami penjelasan contoh 1 yaitu mengaplikasikan rumus sudut antara dua vektor, berikutnya pada contoh 2 kita menyelesaikan berbagai variasi soal yang menggunakan rumus sudut antara dua vektor seperti membuktikan bahwa suatu segitiga merupakan segitiga siku-siku, mencari nilai trigometri lainnya seperti nilai sinus

CONTOH 2:

2. Titik-titik sudut ∆ABC adalah A(3, -1, 5), B(2, -2, 4), C(1, - 2, 5), buktikan bahwa segitiga itu siku-siku di B.

JAWAB :
Karena siku-siku di B maka garis yang tegak adalah AB dan BC, sehingga :

Jadi terbukti segitiga ABC adalah siku-siku.

Lihat video untuk contoh 2 no.2

Sudut Antara 2 vektor contoh 2 no 2

3. Diketahui  vektor

Tentukan nilai sinus sudut antara vektor a dan vektor b.

JAWAB :

Cari dahulu panjang vector a dan b.

Kemudian gunakan rumus sudut antara dua vector untuk mencari cos⁡α.

Setelah cos⁡α sudah didapat, kita bisa cari sin⁡α menggunakan rumus dibawah ini.

Lihat video untuk contoh 2 no.3

Sudut antara 2 vektor contoh 2 no 3

CONTOH 3:
Diketahui vektor u = 2i +2k dan v =ai+2j+4k. Jika vektor (2u - v) tegak lurus terhadap vektor u , tentukan nilai a.
JAWAB :

Jadi nilai a =4